Work 1: Small changes

Work 1/report/Work1_report.tex

@@ -76,7 +76,7 @@
 % Request a title page or header
 \InsertTitle
 
-\section*{Εισαγωγή}
+\section{Εισαγωγή}
 Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείμενο τη μελέτη ενός απλοποιημένου δυναμικού συστήματος — συγκεκριμένα ενός γραμμικοποιημένου εκκρεμούς με ροπή εισόδου — με σκοπό την κατανόηση της συμπεριφοράς του και την εκτίμηση των φυσικών παραμέτρων του μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.
 Στο πρώτο μέρος της εργασίας εξετάζεται η δυναμική του συστήματος, η οποία περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης, και προσεγγίζεται τόσο θεωρητικά όσο και αριθμητικά μέσω προσομοίωσης στο περιβάλλον MATLAB.
 \par
@@ -84,7 +84,7 @@
 Στη συνέχεια, εφαρμόζεται ημιτονική διέγερση και εξετάζεται η απόκριση του συστήματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος με τον οποίο το σύστημα φτάνει στη μόνιμη περιοδική του συμπεριφορά, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο αποκλίνουν οι ταλαντώσεις από τη μεταβατική φάση.
 Η ανάλυση αυτή θέτει τη βάση για τα επόμενα μέρη της εργασίας, όπου επιχειρείται η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου με τη χρήση δεδομένων εξόδου του συστήματος.
 
-\subsection*{Παραδοτέα}
+\subsection{Παραδοτέα}
 Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
 \begin{itemize}
     \item Την παρούσα αναφορά.
@@ -92,7 +92,7 @@
     \item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/SystemModling/src/branch/master/Work%201}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
 \end{itemize}
 
-\section*{Θέμα 1 – Μοντελοποίηση και Προσομοίωση Συστήματος Εκκρεμούς}
+\section{Μοντελοποίηση και Προσομοίωση Συστήματος Εκκρεμούς – Θέμα 1}
 
 Το σύστημα που μελετάται περιγράφεται από τη γραμμικοποιημένη διαφορική εξίσωση:
 \[
@@ -131,7 +131,7 @@
 \paragraph*{Σημείωση:}
 Η προσομοίωση του Θέματος 1 χρησίμευσε όχι μόνο για την παρατήρηση της δυναμικής του συστήματος, αλλά και για την παραγωγή των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν στο Θέμα 2 για την εκτίμηση των παραμέτρων. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων του Θέματος 2 επιβεβαιώνει τη σωστή ρύθμιση και υλοποίηση της προσομοίωσης.
 
-\subsection*{Παρατήρηση Συμπεριφοράς Συστήματος}
+\subsection{Παρατήρηση Συμπεριφοράς Συστήματος}
 Βλέπουμε ότι το σύστημα παρουσιάζει περιοδική απόκριση, η οποία όμως δεν σταθεροποιείται γρήγορα.
 Όπως φαίνεται στο Σχήμα~\ref{fig:20s}, το πλάτος των ταλαντώσεων συνεχίζει να μεταβάλλεται ακόμη και μετά από 20 δευτερόλεπτα, γεγονός που δείχνει ότι το σύστημα βρίσκεται ακόμη σε μεταβατική κατάσταση.
 \par
@@ -150,7 +150,7 @@
     Απόκριση του συστήματος για $t \in [0, 90]$ sec. Το σύστημα σταθεροποιείται σε περιοδική συμπεριφορά μετά τα $50$ sec.
 }
 
-\section*{Θέμα 2 – Εκτίμηση Παραμέτρων με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων}
+\section{Εκτίμηση Παραμέτρων με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων – Θέμα 2}
 
 Η εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική του εκκρεμούς είναι της μορφής:
 \[
@@ -165,7 +165,7 @@
 
 Στόχος του παρόντος ερωτήματος είναι η εκτίμηση του διανύσματος $\theta$ με χρήση μετρήσεων από την έξοδο του συστήματος και της εισόδου $u(t)$, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.
 
-\subsection*{Υποερώτημα 2α}
+\subsection{Υποερώτημα 2α}
 Στο πρώτο υποερώτημα θεωρείται ότι είναι διαθέσιμες μετρήσεις όλων των μεταβλητών κατάστασης, δηλαδή $q(t)$, $\dot{q}(t)$ και $\ddot{q}(t)$, καθώς και της εισόδου $u(t)$.
 Δημιουργείται λοιπόν το πρόβλημα παλινδρόμησης:
 \[
@@ -194,7 +194,7 @@
 Η εκτίμηση παρουσιάζει υψηλή ακρίβεια, με σχετικό σφάλμα μικρότερο του 6\% για όλες τις παραμέτρους.
 Ο αλγόριθμος κατάφερε να ανακατασκευάσει την απόκριση με μικρό σφάλμα, επιβεβαιώνοντας τη θεωρητική εγκυρότητα της μεθόδου.
 
-\subsection*{Υποερώτημα 2β}
+\subsection{Υποερώτημα 2β}
 Στη δεύτερη περίπτωση θεωρούμε ότι διαθέσιμες είναι μόνο οι μετρήσεις της γωνίας $q(t)$ και της εισόδου $u(t)$.
 Οι παράγωγοι $\dot{q}(t)$ και $\ddot{q}(t)$ υπολογίζονται αριθμητικά από το σήμα $q(t)$ με χρήση διαφορικών τελεστών 2ης τάξης ακρίβειας (κεντρικών διαφορών):
 \[
@@ -226,9 +226,9 @@
 
 Παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις οι εκτιμήσεις είναι ακριβείς και σταθερές, με τις αποκλίσεις να κυμαίνονται σε χαμηλά επίπεδα. Μάλιστα, το γεγονός ότι τα σφάλματα είναι αντίστοιχα ακόμα και όταν χρησιμοποιείται λιγότερη πληροφορία (περίπτωση 2β), αποτελεί ένδειξη για τη σταθερότητα και αξιοπιστία της μεθόδου. Ταυτόχρονα, αναδεικνύει την ιδιαίτερη σημασία της επιλογής σήματος διέγερσης και της ποιότητας των δεδομένων.
 
-\section*{Θέμα 3 – Ανάλυση Ευαισθησίας της Εκτίμησης Παραμέτρων}
+\section{Ανάλυση Ευαισθησίας της Εκτίμησης Παραμέτρων – Θέμα 3}
 
-\subsection*{Υποερώτημα 3α: Επίδραση Λευκού Θορύβου στις Μετρήσεις}
+\subsection{Υποερώτημα 3α: Επίδραση Λευκού Θορύβου στις Μετρήσεις}
 Στο υποερώτημα αυτό προστέθηκε λευκός γκαουσιανός θόρυβος στα δεδομένα $q(t)$ και επαναλήφθηκε η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων από το Θέμα~2β.
 Χρησιμοποιήθηκαν δύο διαφορετικά επίπεδα θορύβου, με τυπική απόκλιση $\sigma = 0.001$ και $\sigma = 0.0025$, διατηρώντας σταθερή την είσοδο και την περίοδο δειγματοληψίας ($T_s = 0.1$ sec).
 Οι εκτιμήσεις συγκρίθηκαν με την αντίστοιχη χωρίς θόρυβο, τόσο ως προς το σφάλμα στις παραμέτρους όσο και στην ανακατασκευή της απόκρισης $q(t)$.
@@ -254,7 +254,7 @@
 Όταν ο θόρυβος αυξάνεται ($\sigma = 0.0025$), οι εκτιμήσεις επιδεινώνονται σημαντικά, κυρίως για το $mL^2$.
 Το γεγονός αυτό οφείλεται στην αριθμητική παραγώγιση, η οποία είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στον θόρυβο.
 
-\subsection*{Υποερώτημα 3β: Επίδραση της Περιόδου Δειγματοληψίας $T_s$}
+\subsection{Υποερώτημα 3β: Επίδραση της Περιόδου Δειγματοληψίας $T_s$}
 Στο υποερώτημα αυτό μελετάται η ακρίβεια των εκτιμήσεων σε συνάρτηση με την περίοδο δειγματοληψίας $T_s$.
 Η προσομοίωση έγινε για διάρκεια $T = 20$ sec, ενώ τα δεδομένα δειγματοληττήθηκαν ξανά για διαφορετικές τιμές:
 \[
@@ -295,7 +295,7 @@
 Η διάρκεια προσομοίωσης διατηρήθηκε σταθερή στα $T = 20$ sec και η περίοδος δειγματοληψίας στα $T_s = 0.1$ sec.
 Το πλάτος $A_0$ έλαβε τις τιμές:
 \[
-    A_0 \in \{1, 2, 4, 6, 8, 16, 32\}
+    A_0 \in \{1, 2, 4, 6, 8, 16\}
 \]
 
 Για κάθε τιμή, πραγματοποιήθηκε εκ νέου προσομοίωση, δειγματοληψία και εκτίμηση παραμέτρων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, όπως περιγράφεται στο Θέμα~2β.
@@ -314,7 +314,6 @@
         6  & 1.1826 & 0.92 & 0.1513 & 0.90 & 9.2249 & 0.30 \\
         8  & 1.1826 & 0.92 & 0.1513 & 0.90 & 9.2248 & 0.30 \\
         16 & 1.1826 & 0.92 & 0.1513 & 0.90 & 9.2248 & 0.30 \\
-        32 & 1.1826 & 0.92 & 0.1513 & 0.89 & 9.2248 & 0.30 \\
     \end{tabular}
     \caption{Εκτιμήσεις και ποσοστά σφάλματος παραμέτρων για διαφορετικά πλάτη $A_0$}
 \end{table}
@@ -337,7 +336,7 @@
 Το μόνο που μπορεί να επηρεάζεται είναι η αριθμητική ακρίβεια των παραγώγων (και κατ’ επέκταση της εκτίμησης), μέσω του λόγου σήματος προς αριθμητικό σφάλμα κατά την παραγώγιση (numerical SNR).
 Ωστόσο, για τις τιμές $A_0$ που εξετάστηκαν, η ακρίβεια παρέμεινε υψηλή.
 
-\section*{Συμπεράσματα}
+\section{Συμπεράσματα}
 
 Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η εκτίμηση παραμέτρων ενός γραμμικοποιημένου μοντέλου εκκρεμούς, με εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (Least Squares).
 Αρχικά πραγματοποιήθηκε αριθμητική προσομοίωση του συστήματος, εξετάζοντας τη δυναμική του και τον ρυθμό σταθεροποίησης της απόκρισής του.