Lab02: WIP

.gitmodules

@@ -4,3 +4,6 @@
 [submodule "Lab01/report/AUThReport"]
 	path = Lab01/report/AUThReport
 	url = ssh://git@git.hoo2.net:222/hoo2/AUThReport.git
+[submodule "Lab02/report/AUThReport"]
+	path = Lab02/report/AUThReport
+	url = ssh://git@git.hoo2.net:222/hoo2/AUThReport.git

Lab02/report/AUThReport

@@ -0,0 +1 @@
+Subproject commit 74ec4b5f6c66382e5f1b6d2e6930897e4ed53ea6

Lab02/report/report.tex

@@ -0,0 +1,397 @@
+%
+% !TEX TS-program = xelatex
+% !TEX encoding   = UTF-8 Unicode
+% !TEX spellcheck = el-GR
+%
+% System Modeling Lab02 assignment report
+%
+% Requires compilation with XeLaTeX
+%
+% authors:
+%   Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997
+%   cchoutou@ece.auth.gr
+
+
+
+
+% Options:
+%
+% 1) mainlang=<language>
+%    Default:  english
+%    Set the default language of the document which affects hyphenations,
+%    localization (section, dates, etc...)
+%
+%    example: \documentclass[mainlang=greek]{AUThReport}
+%
+% 2) <language>
+%    Add hyphenation and typesetting support for other languages
+%    Currently supports: english, greek, german, frenc
+%
+%    example: \documentclass[english, greek]{AUThReport}
+%
+% 3) short: Requests a shorter title for the document
+%    Default: no short
+%
+%    example: \documentclass[short]{AUThReport}
+%
+\documentclass[a4paper, 11pt, mainlang=greek, english]{AUThReport/AUThReport}
+
+\CurrentDate{\today}
+
+% Greek report document setup suggestions
+%---------------------------------
+% Document configuration
+\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης}
+\AuthorAEM{8997}
+\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr}
+
+%\CoAuthorName{CoAuthor Name}
+%\CoAuthorAEM{AEM}
+%\CoAuthorMail{CoAuthor Mail}
+
+% \WorkGroup{Ομάδα Χ}
+
+\DocTitle{Εργασία 2}
+\DocSubTitle{Μέθοδοι Πραγματικού Χρόνου, Μέθοδος Κλίσης, Μέθοδος Lyapunov}
+
+\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής}
+\ClassName{Προσομοίωση και Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων}
+
+\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης}
+\InstructorMail{rovithak@auth.gr}
+
+\CoInstructorName{Λ. Μπίκας}
+\CoInstructorMail{lnmpikas@ece.auth.gr}
+
+
+% Local package requirements
+%---------------------------------
+%\usepackage{tabularx}
+%\usepackage{array}
+%\usepackage{commath}
+
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{float}
+
+\begin{document}
+
+% Request a title page or header
+\InsertTitle
+
+\section{Εισαγωγή}
+
+Η παρούσα εργασία ασχολείται με την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων σε δυναμικά συστήματα μέσω μεθόδων πραγματικού χρόνου, δίνοντας έμφαση στη μέθοδο Lyapunov.
+Στο πρώτο σκέλος, μελετάται ένα γραμμικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης και αναπτύσσονται δύο εκτιμητές — βασισμένοι στις μεθόδους gradient descent και Lyapunov — με στόχο την ταχεία και αξιόπιστη προσέγγιση των φυσικών παραμέτρων του συστήματος.
+Εξετάζεται επίσης η επίδραση θορύβου στη μέτρηση της θέσης.
+\par
+Στο δεύτερο σκέλος, μελετάται ένα μη γραμμικό μοντέλο ρόλισης αεροσκάφους, όπου οι άγνωστες παράμετροι εμπλέκονται μη γραμμικά στις εξισώσεις κίνησης.
+Η εκτίμηση συνδυάζεται με ελεγκτή παρακολούθησης τροχιάς, ο οποίος βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και λογαριθμική κορεσμένη ανάδραση.
+Παρουσιάζεται η εκτίμηση των παραμέτρων, καθώς και η ανακατασκευή της εξόδου με βάση τις εκτιμώμενες τιμές.
+Τέλος, μελετάται η ευαισθησία του εκτιμητή παρουσία εξωτερικών διαταραχών.
+
+\subsection{Παραδοτέα}
+Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
+\begin{itemize}
+    \item Την παρούσα αναφορά.
+    \item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB.
+    \item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/SystemModling/src/branch/master/Lab02}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
+\end{itemize}
+
+\section{Θέμα 1}
+
+\subsection{1α - Gradient Estimation}
+
+Το σύστημα που μελετάται είναι το κλασικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης:
+\[
+m\ddot{x}(t) + b\dot{x}(t) + kx(t) = u(t)
+\]
+το οποίο αναδιατυπώνεται γραμμικά ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
+\[
+y(t) = u(t) = \theta^{\top} u(t), \quad \text{με } \theta = [m,\, b,\, k]^{\top},\ u(t) = [\ddot{x}(t),\, \dot{x}(t),\, x(t)]^{\top}
+\]
+Ο εκτιμητής gradient έχει τη μορφή:
+\[
+\dot{\hat{\theta}}(t) = \gamma \cdot u(t) \cdot \left(y(t) - \hat{\theta}^{\top}(t) u(t)\right)
+\]
+
+Η προσομοίωση του ``πραγματικού'' συστήματος υλοποιήθηκε μέσω της μεθόδου Runge–Kutta 4ης τάξης (RK4), ενώ οι παράγωγοι υπολογίστηκαν με διαφορικό σχήμα.
+Το script επιτρέπει επιλογή μεταξύ normalized και unnormalized εκτιμητή και διαφορετικές τιμές $\gamma$.
+
+\subsubsection{Σύγκριση Normalized vs Unnormalized}
+
+Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec, για τις δύο περιπτώσεις.
+Οι εκτιμήσεις είναι διαφορετικές, κυρίως στις παραμέτρους $m$ και $b$ — γεγονός που υποδηλώνει πως η χρήση normalization επηρεάζει όχι μόνο τη δυναμική, αλλά και το σημείο σύγκλισης.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
+        \caption{Constant input, unnormalized}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Normalized_30s.png}
+        \caption{Constant input, normalized}
+    \end{subfigure}
+
+    \vspace{0.5cm}
+
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
+        \caption{Sine input, unnormalized}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Normalized_30s.png}
+        \caption{Sine input, normalized}
+    \end{subfigure}
+    \caption{Σύγκριση εκτίμησης παραμέτρων με και χωρίς normalization, για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec.}
+    \label{gradient_1a}
+\end{figure}
+
+Από το σχήμα \ref{gradient_1a} παρατηρούμε ότι το σύστημα απαιτεί σημαντικό χρονικό διάστημα για να συγκλίνει σε σταθερές τιμές.
+Ειδικά για μικρές τιμές του $\gamma$, η σύγκλιση είναι πιο αργή αλλά ομαλότερη, η τιμή του οποίου επιλέχθηκε με δοκιμαστικές εκτελέσεις.
+Παρόλα αυτά το σύστημα παρουσίαζε μεγάλες ταλαντώσεις.
+Για το λόγο αυτό επιλέχθηκε να γίνει κανονικοποίηση στη μέθοδο κλίσης (normalized gradient update).
+Η χρήση κανονικοποίησης βελτιώνει σημαντικά τη σταθερότητα του εκτιμητή και οδηγεί σε εκτιμήσεις με μικρότερη διακύμανση, ιδιαίτερα για τις παραμέτρους $m$ και $b$.
+Ωστόσο, ακόμη και με κανονικοποίηση, το σφάλμα εκτίμησης παραμένει, γεγονός που πιθανόν οφείλεται είτε στην αριθμητική προσέγγιση των παραγώγων είτε στο ότι η είσοδος δεν διεγείρει επαρκώς όλες τις δυναμικές του συστήματος.
+\par
+Η πρώτη εκτέλεση (για $T=30s$ και $\gamma=0.66$) ανέδειξε αυτές τις διαφορές: χωρίς normalization παρατηρήθηκαν εντονότερες αποκλίσεις, ενώ με normalization η σύγκλιση ήταν πιο σταθερή, ειδικά για την παράμετρο $b$.
+
+\subsubsection{Διερεύνηση επίδρασης της παραμέτρου $\gamma$}
+
+Προκειμένου να κατανοήσουμε καλύτερα την επίδραση του $\gamma$, εκτελέσαμε το script με τιμές $\gamma = 0.33,\ 0.50,\ 0.66$ και normalized update.
+Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις τελικές τιμές εκτίμησης για κάθε περίπτωση:
+
+\begin{table}[H]
+    \centering
+    \caption{Τελικές εκτιμήσεις παραμέτρων για διαφορετικές τιμές $\gamma$ (με normalized update)}
+    \label{tab:gamma_comparison}
+    \begin{tabular}{r c c c c}
+        \textbf{Σήμα} & \textbf{$\gamma$}  & $\hat{m}$ & $\hat{b}$ & $\hat{k}$ \\
+        \hline
+        σταθερό      & 0.33 & 0.9963 & 0.6650          & \textbf{0.7143} \\
+        σταθερό      & 0.50 & 0.9726 & 0.5558          & \textbf{0.7119} \\
+        σταθερό      & 0.66 & 0.9475 & 0.4795          & \textbf{0.7107} \\
+        ημιτονοειδές & 0.33 & 1.1492 & \textbf{0.2452} & 0.5622 \\
+        ημιτονοειδές & 0.50 & 1.1033 & \textbf{0.2326} & 0.5097 \\
+        ημιτονοειδές & 0.66 & 1.0672 & \textbf{0.2350} & 0.4735 \\
+        \hline
+        Πραγματικές  & --   & 1.315  & 0.225  & 0.725  \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
+\subsubsection{Παρατήρηση επιλεκτικής εκτίμησης ανάλογα με το είδος εισόδου}
+
+Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προκύπτει ότι η εκτίμηση της $k$ προσεγγίζεται επιτυχώς κυρίως όταν το σύστημα διεγείρεται με σταθερό σήμα.
+Αυτό είναι λογικό, καθώς σε σταθερή είσοδο κυριαρχεί η στατική απόκριση του συστήματος, στην οποία η $k$ (σταθερά ελατηρίου) έχει άμεση επίδραση.
+\par
+Αντίθετα, σε ημιτονοειδές σήμα, οι παραγώγοι της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ποικίλουν έντονα και επαναληπτικά, ενισχύοντας τη συμβολή των $m$ και $b$ στη δυναμική του σήματος.
+Παρατηρούμε ότι σε αυτές τις περιπτώσεις η εκτίμηση της $b$ είναι σαφώς βελτιωμένη.
+\par
+Η διαφοροποίηση αυτή υποδεικνύει ότι η επιμονή διέγερσης (persistence of excitation) που απαιτείται για την εκτίμηση όλων των παραμέτρων δεν ικανοποιείται εξίσου από κάθε τύπο εισόδου.
+Για να επιτευχθεί συνολική παρατηρησιμότητα, ενδεχομένως να απαιτείται πιο σύνθετο ή ακόμα και στοχαστικό σήμα εισόδου (π.χ. sum-of-sines ή PRBS).
+
+
+\subsection{1β – Εκτίμηση παραμέτρων με μέθοδο Lyapunov}
+
+Η μέθοδος Lyapunov προσφέρει μία πιο θεωρητικά τεκμηριωμένη προσέγγιση για την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων, καθώς βασίζεται στον σχεδιασμό κατάλληλης συνάρτησης Lyapunov που εγγυάται τη σύγκλιση των σφαλμάτων εκτίμησης.
+Η εκτίμηση των παραμέτρων βασίστηκε στην ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος μεταξύ της πραγματικής εισόδου $u(t)$ και της εκτιμώμενης εξόδου του μοντέλου:
+\[
+\hat{y}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(t)
+\]
+όπου:
+\[
+y(t) = u(t), \quad \phi(t) = [\ddot{x}(t),\ \dot{x}(t),\ x(t)]^\top
+\]
+
+Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως:
+\[
+K(\hat{\theta}) = \frac{1}{2} (y(t) - \hat{y}(t))^2 = \frac{1}{2} e^2(t)
+\]
+και η προσαρμογή των παραμέτρων γίνεται με βάση τον κανόνα gradient descent:
+\[
+\dot{\hat{\theta}} = -\gamma \cdot \nabla K(\hat{\theta}) = \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
+\]
+
+Αυτή η μορφή δεν απαιτεί ξεχωριστό βοηθητικό δυναμικό μοντέλο ή υπολογισμό σφαλμάτων κατάστασης, αλλά στηρίζεται αποκλειστικά σε παρατηρήσιμα σήματα και προβλέψιμη γραμμική εξίσωση ως προς τις παραμέτρους.
+Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει καλύτερη σταθερότητα σε σχέση με τη μέθοδο gradient, ειδικά όταν η είσοδος δεν πληροί πλήρως τη συνθήκη επιμονής διέγερσης.
+Επιπλέον, η εισαγωγή της παραμέτρου $\gamma$ επιτρέπει τον έλεγχο της ταχύτητας προσαρμογής, χωρίς να απαιτείται normalization.
+
+\subsubsection{Υλοποίηση Εκτιμητή}
+
+Ο εκτιμητής Lyapunov υλοποιήθηκε με βάση το παραπάνω θεωρητικό μοντέλο.
+Επιπλέον, ανακατασκευάστηκε η έξοδος του συστήματος $x(t)$ με βάση τις εκτιμώμενες παραμέτρους, ώστε να συγκριθεί η πραγματική έξοδος με την εκτιμώμενη $\hat{x}(t)$ και να υπολογιστεί το σφάλμα $e_x(t) = x(t) - \hat{x}(t)$.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_lyapunov_gamma0.660_40s.png}
+        \caption{Εκτίμηση παραμέτρων με τη μέθοδο Lyapunov}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_extrastates_gamma0.660_40s.png}
+        \caption{Αντίδραση συστήματος και σφάλμα εκτίμησης θέσης}
+    \end{subfigure}
+    \caption{Συγκριτική παρουσίαση εκτίμησης παραμέτρων και εξόδου (για $\gamma=0.66$, $T=40s$)}
+    \label{lyapunov_1b}
+\end{figure}
+
+Όπως φαίνεται και από το σχήμα \ref{lyapunov_1b} η μέθοδος Lyapunov οδήγησε σε σταθερή και σχετικά ακριβή εκτίμηση των παραμέτρων του συστήματος.
+Η τελική εκτίμηση των παραμέτρων μετά από $40s$ ήταν:
+\[
+\hat{m} = 0.8428,\quad \hat{b} = 0.2201,\quad \hat{k} = 0.2620
+\]
+Παρατηρείται ότι οι εκτίμηση για το $b$ συγκλίνει σε τιμές κοντά στις πραγματικές, ενώ η εκτιμήσεις του $m$ και $k$ αποκλίνουν σημαντικά, ομοίως με τη μέθοδο gradient estimation.
+\par
+Η ανακατασκευή της εξόδου $\hat{x}(t)$ παρόλα αυτά, με βάση το εκτιμώμενο μοντέλο παρουσίασε πολύ καλή συμφωνία με την πραγματική $x(t)$, με το σφάλμα θέσης $e_x(t)$ να παραμένει κάτω από $0.6$ καθ' όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.
+Αυτό ενισχύει την αξιοπιστία της εκτίμησης και αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της μεθόδου σε σταθερές συνθήκες.
+
+\subsection{1γ – Επίδραση διαταραχής στη μέτρηση x(t)}
+
+Για τη μελέτη της ευαισθησίας της μεθόδου Lyapunov στην παρουσία θορύβου, προστέθηκε στο σήμα της θέσης $x(t)$ μια ημιτονοειδής διαταραχή της μορφής:
+\[
+\eta(t) = \eta_0 \cdot \sin(2\pi f_0 t)
+\]
+με πλάτος $\eta_0 = 0.1$ και συχνότητα $f_0 = 0.5\,\text{Hz}$.
+
+Ο εκτιμητής παραμένει ίδιος με αυτόν του Θέματος 1β.
+Η εκτίμηση έγινε δύο φορές: μία με καθαρό σήμα $x(t)$ και μία με διαταραχή $x(t) + \eta(t)$, ενώ οι παράγωγοι $\dot{x}(t)$ και $\ddot{x}(t)$ υπολογίστηκαν από το καθαρό σήμα ώστε να αποφευχθεί υπερβολική αριθμητική αστάθεια.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Prob1c_disturbance_eta0.10.png}
+    \caption{Σύγκριση εκτιμήσεων με και χωρίς διαταραχή ($\eta_0 = 0.1$)}
+    \label{fig:disturbance}
+\end{figure}
+
+Από το σχήμα \ref{fig:disturbance} παρατηρούμε ότι η προσθήκη περιορισμένης διαταραχής στη μέτρηση της θέσης επηρεάζει ελάχιστα την εκτίμηση.
+Οι τελικές τιμές των παραμέτρων συγκλίνουν σχεδόν ταυτόσημα με την καθαρή περίπτωση:
+\[
+\hat{m} = 0.8432, \quad \hat{b} = 0.2195, \quad \hat{k} = 0.2590
+\]
+
+Η μικρή επίδραση οφείλεται στο γεγονός ότι η διαταραχή:
+\begin{itemize}
+    \item είναι ομαλή και περιοδική (χαμηλή συχνότητα),
+    \item φιλτράρεται έμμεσα μέσα από το μοντέλο,
+    \item δεν επηρεάζει τις παραγώγους που χρησιμοποιούνται στον εκτιμητή.
+\end{itemize}
+
+Συνεπώς, ο εκτιμητής Lyapunov παρουσιάζει ικανοποιητική ανοσία σε ήπια διαταραχή, γεγονός που ενισχύει τη χρησιμότητά του σε ρεαλιστικά σενάρια μέτρησης.
+
+\section{Θέμα 2}
+
+Το σύστημα που εξετάζεται είναι ένα δυναμικό μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που περιγράφει τη ροπή κύλισης (roll motion) ενός αεροσκάφους:
+\[
+\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t) + d(t)
+\]
+Όπου:
+\begin{itemize}
+    \item $r(t)$ είναι η γωνία roll,
+    \item $u(t)$ είναι η είσοδος (σήμα ελέγχου),
+    \item $d(t)$ είναι εξωτερική διαταραχή,
+    \item $a_1, a_2, a_3, b$ είναι άγνωστες σταθερές παραμέτρων.
+\end{itemize}
+
+Η δομή του συστήματος επιβάλλει την κατασκευή εκτιμητή παραμέτρων σε πραγματικό χρόνο.
+Το βασικό βήμα είναι η αναγραφή της εξίσωσης σε μορφή γραμμική ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
+\[
+\ddot{r}(t) = \theta^\top \phi(t)
+\quad \text{με } \theta = [a_1,\, a_2,\, a_3,\, b]^\top,\quad
+\phi(t) = [-\dot{r}(t),\, -\sin(r(t)),\, \dot{r}^2(t)\sin(2r(t)),\, u(t)]^\top
+\]
+Η είσοδος $u(t)$ πρέπει να σχεδιαστεί κατάλληλα ώστε το σύστημα να ακολουθεί τη ζητούμενη τροχιά ακόμη και παρουσία άγνωστων παραμέτρων.
+Για τον σκοπό αυτό, προτείνεται η χρήση ενός ελεγκτή ανάδρασης που βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και σε μια smooth συνάρτηση κορεσμού της μορφής:
+\[
+T(z) = \ln\left(\frac{1 + z}{1 - z}\right)
+\]
+Η συνάρτηση $T(z)$ χρησιμοποιείται για να περιορίσει την έξοδο του ελεγκτή όταν τα σφάλματα γίνονται μεγάλα, αποτρέποντας απότομες ή μη ρεαλιστικές εντολές ελέγχου.
+Τα σφάλματα κανονικοποιούνται με χρονικά μεταβαλλόμενα ή σταθερά φράγματα, ώστε να εξασφαλίζεται η σταθερότητα και η συμβατότητα με φυσικούς περιορισμούς του συστήματος.
+
+Ο ελεγκτής βασίζεται σε δύο επίπεδα ανάδρασης.
+Πρώτα, υπολογίζεται ένα setpoint ταχύτητας:
+\[
+z_1(t) = \frac{r(t) - r_d(t)}{\phi(t)}, \quad \alpha(t) = -k_1 T(z_1(t))
+\]
+όπου $r_d(t)$ είναι η επιθυμητή τροχιά και $\phi(t)$ ένα χρονικά φθίνον φράγμα σφάλματος.
+
+Στη συνέχεια, υπολογίζεται η τελική είσοδος ελέγχου:
+\[
+z_2(t) = \frac{\dot{r}(t) - \alpha(t)}{\rho}, \quad u(t) = -k_2 T(z_2(t))
+\]
+με σταθερό φράγμα $\rho$ και ενισχυτικό κέρδος $k_2$.
+Το σχήμα αυτό επιτρέπει υψηλή ακρίβεια παρακολούθησης (καθώς $\phi_\infty \downarrow$) και ταυτόχρονα περιορίζει τις μεταβατικές ταλαντώσεις μέσω της δομής κορεσμού.
+
+Η μελέτη επεκτείνεται και σε περιπτώσεις με εξωτερικές διαταραχές $d(t)$, όπου αξιολογείται η ευρωστία του εκτιμητή και του ελεγκτή.
+
+\subsection{2α – Εκτίμηση παραμέτρων σε μη γραμμικό σύστημα roll χωρίς διαταραχές}
+
+Εξετάζουμε ένα μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που μοντελοποιεί τη ροπή κύλισης (roll) αεροσκάφους, του οποίου η τροχιά αναφοράς ακολουθεί την προδιαγραφή:
+\[
+r_d(t) =
+\begin{cases}
+    0, & 0 \leq t < 10 \\
+    \frac{\pi}{10}, & 10 \leq t < 20 \\
+    0, & t \geq 20
+\end{cases}
+\]
+
+Για την παρακολούθηση τροχιάς χρησιμοποιείται ελεγκτής ανάδρασης που περιγράφηκε παραπάνω
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2a_estimation.png}
+    \caption{Εκτίμηση παραμέτρων και παρακολούθηση τροχιάς για το Θέμα 2α (χωρίς διαταραχή)}
+    \label{fig:2a}
+\end{figure}
+
+Από το σχήμα \ref{fig:2a} φαίνεται ότι η σύγκλιση των παραμέτρων είναι ομαλή και σχετικά ακριβής:
+\[
+\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
+\]
+με τις πραγματικές τιμές να είναι $a_1 = 2.0$, $a_2 = 1.0$, $a_3 = 0.5$, $b = 2.0$.
+Παρατηρούμε ότι οι παράμετροι $a_2$ και $b$ εκτιμώνται με υψηλή ακρίβεια, ενώ οι $a_1$ και $a_3$ εκτιμούνται με χαμηλή ακρίβεια.
+\par
+Η παρακολούθηση της επιθυμητής τροχιάς παρόλα αυτά είναι επιτυχής, με το $r(t)$ να ακολουθεί το $r_d(t)$ εντός των ορίων που ορίζει το φράγμα $\phi(t)$ καθ’ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.
+
+\subsection{2β – Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης με μετρήσιμα r(t), ṙ(t), u(t)}
+
+Σε αυτό το Θέμα εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία είναι μετρήσιμα τα σήματα $r(t)$, $\dot{r}(t)$ και $u(t)$, και ζητείται η εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων του συστήματος καθώς και η ανακατασκευή της γωνίας roll $r(t)$ μέσω της εκτιμημένης δυναμικής.
+
+Το σύστημα που προσομοιώνεται παραμένει:
+\[
+\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t)
+\]
+
+Οι παράμετροι εκτιμώνται χρησιμοποιώντας τη μορφή:
+\[
+\hat{\theta}(k+1) = \hat{\theta}(k) + \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
+\quad \text{όπου } \phi(t) = [-\dot{r}, -\sin(r), \dot{r}^2\sin(2r), u(t)]^\top
+\]
+
+Η έξοδος του συστήματος $r(t)$ ανακατασκευάζεται από την εκτιμώμενη επιτάχυνση:
+\[
+\hat{\ddot{r}}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(\hat{r}(t), \hat{\dot{r}}(t), u(t)).
+\]
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2b_estimation.png}
+    \caption{Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης για το Θέμα 2β}
+    \label{fig:2b}
+\end{figure}
+
+Η εκτίμηση παραμέτρων συγκλίνει σε πολύ καλές τιμές:
+\[
+\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
+\]
+Όπως φαίνεται στο σχήμα \ref{fig:2b}, ενώ η ανακατασκευή της κατάστασης $r(t)$ είναι εύστοχη, με σφάλμα $e_r(t)$ να διατηρείται κάτω από $0.05\,\text{rad}$.
+Η ελαφριά χρονική υστέρηση και υποεκτίμηση σε ορισμένα διαστήματα οφείλονται στο ότι η ανακατασκευή γίνεται με βάση εκτιμώμενες παραμέτρους και αρχικές μηδενικές συνθήκες.
+Συνολικά, η μέθοδος Lyapunov αποδείχθηκε κατάλληλη για ταυτόχρονη εκτίμηση και παρακολούθηση σε πραγματικό χρόνο με αξιόπιστα αποτελέσματα.
+
+
+\end{document}

Lab02/scripts/Problem1a.m

@@ -0,0 +1,121 @@
+% Gradient estimation for mass-spring-damper system (Exercise 1a)
+
+% True system parameters
+m_true = 1.315;
+b_true = 0.225;
+k_true = 0.725;
+
+% Simulation parameters
+Ts = 0.001;
+T_total = 30;
+t = 0:Ts:T_total;
+N = length(t);
+
+% Gamma setup
+gamma = 0.33;
+use_normalization = true;  % Set to false to disable normalization
+
+fprintf('Using gamma = %.4f\n', gamma);
+if use_normalization
+    fprintf('Using normalized gradient update.\n');
+else
+    fprintf('Using unnormalized gradient update.\n');
+end
+
+% Define both input cases
+input_cases = {...
+    struct('name', 'constant', 'u', 2.5 * ones(1, N)), ...
+    struct('name', 'sine', 'u', 2.5 * sin(t)) ...
+};
+
+fprintf('True m: %.4f, b: %.4f, k: %.4f\n', m_true, b_true, k_true);
+
+for case_idx = 1:length(input_cases)
+    input_case = input_cases{case_idx};
+    u = input_case.u;
+
+    % Preallocate state variables
+    x = zeros(1, N);
+    dx = zeros(1, N);
+    ddx = zeros(1, N);
+
+    % Initial conditions
+    x(1) = 0;
+    dx(1) = 0;
+
+    % Simulate true system using RK4
+    for k = 1:N-1
+        f = @(x_, dx_, u_) (1/m_true) * (u_ - b_true * dx_ - k_true * x_);
+        k1 = f(x(k), dx(k), u(k));
+        k2 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k1, u(k));
+        k3 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k2, u(k));
+        k4 = f(x(k) + Ts * dx(k), dx(k) + Ts * k3, u(k));
+        ddx(k) = k1;  % store first derivative (for later reuse)
+        dx(k+1) = dx(k) + Ts/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
+        x(k+1) = x(k) + Ts * dx(k);
+    end
+
+    % Approximate acceleration using finite differences
+    ddx(1:end-1) = diff(dx) / Ts;
+    ddx(end) = ddx(end-1);  % replicate last value
+
+    % Gradient estimation setup
+    theta_hat = zeros(3, N);            % rows: [m; b; k]
+    theta_hat(:, 1) = [1; 1; 1];        % initial guesses
+
+    % Run gradient estimator
+    for k = 1:N-1
+        u_vec = [ddx(k); dx(k); x(k)];
+        y = u(k);
+        y_hat = theta_hat(:, k)' * u_vec;
+        e = y - y_hat;
+        if use_normalization
+            norm_factor = 1 + norm(u_vec)^2;
+            theta_hat(:, k+1) = theta_hat(:, k) + Ts * gamma * (e / norm_factor) * u_vec;
+        else
+            theta_hat(:, k+1) = theta_hat(:, k) + Ts * gamma * e * u_vec;
+        end
+    end
+
+    % Print final estimated values to console
+    fprintf('\nFinal estimates for input: %s\n', input_case.name);
+    fprintf('Estimated m: %.4f, b: %.4f, k: %.4f\n', theta_hat(1,end), theta_hat(2,end), theta_hat(3,end));
+
+    % Plot estimated parameters
+    figure('Name', ['Estimated Parameters - ' input_case.name], 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+    normalization_text = ternary(use_normalization, 'Normalized', 'Unnormalized');
+    sgtitle(sprintf('Input: %s   |   Gamma = %.3f   |   %s', input_case.name, gamma, normalization_text), 'FontWeight', 'bold');
+
+    subplot(3,1,1);
+    plot(t, theta_hat(1,:), 'b', 'LineWidth', 1.5);
+    ylabel('$$\hat{m}(t)$$ [kg]', 'Interpreter', 'latex'); 
+    grid on;
+    title('Εκτίμηση μάζας');
+
+    subplot(3,1,2);
+    plot(t, theta_hat(2,:), 'r', 'LineWidth', 1.5);
+    ylabel('$$\hat{b}(t)$$ [Ns/m]', 'Interpreter', 'latex'); 
+    grid on;
+    title('Εκτίμηση απόσβεσης');
+
+    subplot(3,1,3);
+    plot(t, theta_hat(3,:), 'k', 'LineWidth', 1.5);
+    ylabel('$$\hat{k}(t)$$ [N/m]', 'Interpreter', 'latex'); 
+    xlabel('t [sec]');
+    grid on;
+    title('Εκτίμηση ελαστικότητας');
+
+    % Save figure
+    if ~exist('output', 'dir')
+        mkdir('output');
+    end
+    saveas(gcf, sprintf('output/Prob1a_estimation_%s_gamma%.3f_%s_%ds.png', input_case.name, gamma, normalization_text, T_total));
+end
+
+function out = ternary(cond, val_true, val_false)
+    if cond
+        out = val_true;
+    else
+        out = val_false;
+    end
+end

Lab02/scripts/Problem1b.m

@@ -0,0 +1,116 @@
+%
+% Problem 1b: Lyapunov-based Parameter Estimation
+%
+
+
+% True system parameters
+m_true = 1.315;
+b_true = 0.225;
+k_true = 0.725;
+
+% Simulation parameters
+Ts = 0.001;
+T_total = 40;
+t = 0:Ts:T_total;
+N = length(t);
+
+% Gamma setup
+gamma = 0.66;
+fprintf('Using gamma = %.4f (Lyapunov Based Estimation)\n', gamma);
+
+% Define sine input only (as per problem statement)
+u = 2.5 * sin(t);
+
+% Simulate the true system
+x = zeros(1, N);
+dx = zeros(1, N);
+ddx = zeros(1, N);
+x(1) = 0; dx(1) = 0;
+for k = 1:N-1
+    f = @(x_, dx_, u_) (1/m_true) * (u_ - b_true * dx_ - k_true * x_);
+    k1 = f(x(k), dx(k), u(k));
+    k2 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k1, u(k));
+    k3 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k2, u(k));
+    k4 = f(x(k) + Ts * dx(k), dx(k) + Ts * k3, u(k));
+    ddx(k) = k1;
+    dx(k+1) = dx(k) + Ts/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
+    x(k+1) = x(k) + Ts * dx(k);
+end
+ddx(1:end-1) = diff(dx) / Ts;
+ddx(end) = ddx(end-1);
+
+% Estimation using Lyapunov structure
+phi_all = [ddx; dx; x];  % shape: [3 x N]
+theta_hat = zeros(3, N);
+theta_hat(:, 1) = [1; 1; 1];
+
+for k = 1:N-1
+    phi = phi_all(:,k);
+    y = u(k);
+    y_hat = theta_hat(:,k)' * phi;
+    e = y - y_hat;
+    theta_hat(:,k+1) = theta_hat(:,k) + Ts * gamma * e * phi;
+end
+
+% Final estimates
+fprintf('\nFinal estimates:\n');
+fprintf('Estimated m: %.4f, b: %.4f, k: %.4f\n', theta_hat(1,end), theta_hat(2,end), theta_hat(3,end));
+
+% Plot results
+figure('Name', 'Lyapunov Estimation (notes form)', 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+sgtitle(sprintf('Input: sine   |   Gamma = %.3f   |   Lyapunov', gamma), 'FontWeight', 'bold');
+
+subplot(3,1,1);
+plot(t, theta_hat(1,:), 'b', 'LineWidth', 1.5);
+ylabel('$$\hat{m}(t)$$ [kg]', 'Interpreter', 'latex');
+grid on; title('Εκτίμηση μάζας');
+
+subplot(3,1,2);
+plot(t, theta_hat(2,:), 'r', 'LineWidth', 1.5);
+ylabel('$$\hat{b}(t)$$ [Ns/m]', 'Interpreter', 'latex');
+grid on; title('Εκτίμηση απόσβεσης');
+
+subplot(3,1,3);
+plot(t, theta_hat(3,:), 'k', 'LineWidth', 1.5);
+ylabel('$$\hat{k}(t)$$ [N/m]', 'Interpreter', 'latex');
+xlabel('t [sec]');
+grid on; title('Εκτίμηση ελαστικότητας');
+
+if ~exist('output', 'dir')
+    mkdir('output');
+end
+saveas(gcf, sprintf('output/Prob1b_lyapunov_gamma%.3f_%ds.png', gamma, T_total));
+
+% Reconstruct estimated output x_hat(t)
+x_hat = zeros(1, N);
+dx_hat = zeros(1, N);
+dx_hat(1) = 0;
+for k = 1:N-1
+    m_hat = theta_hat(1,k);
+b_hat = theta_hat(2,k);
+k_hat = theta_hat(3,k);
+ddx_hat = (u(k) - b_hat * dx_hat(k) - k_hat * x_hat(k)) / m_hat;
+    dx_hat(k+1) = dx_hat(k) + Ts * ddx_hat;
+    x_hat(k+1) = x_hat(k) + Ts * dx_hat(k);
+end
+e_x = x - x_hat;
+
+% Plot extra figure with x, x_hat and e_x
+figure('Name', 'System Response vs Estimation', 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+sgtitle(sprintf('System Response and Error | Gamma = %.3f', gamma), 'FontWeight', 'bold');
+
+subplot(2,1,1);
+plot(t, x, 'b', t, x_hat, '--r', 'LineWidth', 1.5);
+legend('x(t)', 'x_{hat}(t)', 'Location', 'Best');
+ylabel('Θέση [m]');
+grid on; title('Αντίδραση Συστήματος και Εκτίμηση');
+
+subplot(2,1,2);
+plot(t, e_x, 'k', 'LineWidth', 1.5);
+ylabel('e_x(t)');
+grid on; title('Σφάλμα θέσης: x(t) - x_{hat}(t)');
+
+
+
+saveas(gcf, sprintf('output/Prob1b_extrastates_gamma%.3f_%ds.png', gamma, T_total));
+

Lab02/scripts/Problem1c.m

@@ -0,0 +1,102 @@
+%
+% Problem 1c: Effect of bounded sinusoidal disturbance on measurement x(t)
+%
+
+% True system parameters
+m_true = 1.315;
+b_true = 0.225;
+k_true = 0.725;
+
+% Simulation parameters
+Ts = 0.001;
+T_total = 40;
+t_full = 0:Ts:T_total;
+
+% Generate full input signal
+u_full = 2.5 * sin(t_full);
+
+% Simulate the true system
+x = zeros(1, length(t_full));
+dx = zeros(1, length(t_full));
+ddx = zeros(1, length(t_full));
+x(1) = 0; dx(1) = 0;
+for k = 1:length(t_full)-1
+    f = @(x_, dx_, u_) (1/m_true) * (u_ - b_true * dx_ - k_true * x_);
+    k1 = f(x(k), dx(k), u_full(k));
+    k2 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k1, u_full(k));
+    k3 = f(x(k) + Ts/2 * dx(k), dx(k) + Ts/2 * k2, u_full(k));
+    k4 = f(x(k) + Ts * dx(k), dx(k) + Ts * k3, u_full(k));
+    ddx(k) = k1;
+    dx(k+1) = dx(k) + Ts/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
+    x(k+1) = x(k) + Ts * dx(k);
+end
+ddx(1:end-1) = diff(dx) / Ts;
+ddx(end) = ddx(end-1);
+
+% Initial estimation (clean) using Lyapunov
+T_total = 40;
+index_limit = round(T_total / Ts);
+t = t_full(1:index_limit);
+N = length(t);
+u = u_full(1:index_limit);
+x = x(1:index_limit);
+dx = dx(1:index_limit);
+ddx = ddx(1:index_limit);
+
+phi_all = [ddx; dx; x];
+theta_hat = zeros(3, N);
+theta_hat(:, 1) = [1; 1; 1];
+gamma = 0.66;
+for k = 1:N-1
+    phi = phi_all(:,k);
+    y = u(k);
+    y_hat = theta_hat(:,k)' * phi;
+    e = y - y_hat;
+    theta_hat(:,k+1) = theta_hat(:,k) + Ts * gamma * e * phi;
+end
+
+% Disturbance settings
+eta0 = 0.1;
+f0 = 0.5;
+eta = eta0 * sin(2 * pi * f0 * t);
+x_noisy = x + eta;
+
+% Use clean derivatives, noisy position
+phi_all_noise = [ddx; dx; x_noisy];
+theta_hat_noise = zeros(3, N);
+theta_hat_noise(:, 1) = [1; 1; 1];
+
+for k = 1:N-1
+    phi = phi_all_noise(:,k);
+    y = u(k);
+    y_hat = theta_hat_noise(:,k)' * phi;
+    e = y - y_hat;
+    theta_hat_noise(:,k+1) = theta_hat_noise(:,k) + Ts * gamma * e * phi;
+end
+
+fprintf('\n1c: Final estimates with disturbance:\n');
+fprintf('Estimated m: %.4f, b: %.4f, k: %.4f\n', ...
+        theta_hat_noise(1,end), theta_hat_noise(2,end), theta_hat_noise(3,end));
+
+figure('Name', '1c - Parameter Estimation with Disturbance', 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+sgtitle(sprintf('Lyapunov Estimation with Disturbance | η_0 = %.2f', eta0));
+
+subplot(3,1,1);
+plot(t, theta_hat(1,:), 'b', t, theta_hat_noise(1,:), '--b', 'LineWidth', 1.2);
+ylabel('m(t)'); grid on; title('Μάζα');
+legend('Clear', 'With noise');
+
+subplot(3,1,2);
+plot(t, theta_hat(2,:), 'r', t, theta_hat_noise(2,:), '--r', 'LineWidth', 1.2);
+ylabel('b(t)'); grid on; title('Απόσβεση');
+legend('Clear', 'With noise');
+
+subplot(3,1,3);
+plot(t, theta_hat(3,:), 'k', t, theta_hat_noise(3,:), '--k', 'LineWidth', 1.2);
+ylabel('k(t)'); xlabel('t [s]'); grid on; title('Ελαστικότητα');
+legend('Clear', 'With noise');
+
+if ~exist('output', 'dir')
+    mkdir('output');
+end
+saveas(gcf, sprintf('output/Prob1c_disturbance_eta%.2f.png', eta0));

Lab02/scripts/Problem2a.m

@@ -0,0 +1,93 @@
+%
+% Problem 2a: Nonlinear system roll model parameter estimation without disturbance
+%
+
+% True system parameters
+a1 = 2.0;
+a2 = 1.0;
+a3 = 0.5;
+b = 2.0;
+
+% Simulation setup
+Ts = 0.001;
+T_total = 30;
+t = 0:Ts:T_total;
+N = length(t);
+
+% Reference trajectory: step profile
+r_d = zeros(1, N);
+r_d(t >= 10 & t < 20) = pi/10;
+
+% Smooth bound phi(t)
+phi0 = 1.5;
+phi_inf = 0.05;
+lambda = 0.5;
+phi = (phi0 - phi_inf) * exp(-lambda * t) + phi_inf;
+
+% Control parameters
+k1 = 1.0;
+k2 = 1.0;
+rho = 1.0;
+
+% Initial conditions
+r = zeros(1, N);
+dr = zeros(1, N);
+ddr = zeros(1, N);
+
+% Parameter estimation setup
+theta_hat = zeros(4, N);
+theta_hat(:,1) = [1; 1; 1; 1];
+gamma = 0.66;
+
+% Output storage for control input and errors
+alpha = zeros(1, N);
+u = zeros(1, N);
+
+for k = 1:N-1
+    % Compute normalized errors
+    z1 = (r(k) - r_d(k)) / phi(k);
+    z1 = max(min(z1, 0.999), -0.999);
+    alpha(k) = -k1 * log((1 + z1) / (1 - z1));
+
+    z2 = (dr(k) - alpha(k)) / rho;
+    z2 = max(min(z2, 0.999), -0.999);
+    u(k) = -k2 * log((1 + z2) / (1 - z2));
+
+    % True system dynamics
+    phi_true = [-dr(k); -sin(r(k)); dr(k)^2 * sin(2*r(k)); u(k)];
+    ddr(k) = a1 * phi_true(1) + a2 * phi_true(2) + a3 * phi_true(3) + b * phi_true(4);
+
+    % Integrate dynamics
+    dr(k+1) = dr(k) + Ts * ddr(k);
+    r(k+1) = r(k) + Ts * dr(k);
+
+    % Estimation
+    phi_est = phi_true; % same form
+    y = ddr(k);
+    y_hat = theta_hat(:,k)' * phi_est;
+    e = y - y_hat;
+    theta_hat(:,k+1) = theta_hat(:,k) + Ts * gamma * e * phi_est;
+end
+
+% Final estimates
+fprintf('\n2a: Final estimated parameters:\n');
+fprintf('a1: %.4f, a2: %.4f, a3: %.4f, b: %.4f\n', theta_hat(1,end), theta_hat(2,end), theta_hat(3,end), theta_hat(4,end));
+
+% Plot parameter estimates
+figure('Name', 'Problem 2a - Parameter Estimation', 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+sgtitle('Nonlinear Roll System - Parameter Estimation');
+
+subplot(2,1,1);
+plot(t, theta_hat', 'LineWidth', 1.4);
+legend('a_1', 'a_2', 'a_3', 'b');
+ylabel('\theta estimates'); grid on; title('Εκτιμήσεις παραμέτρων');
+
+subplot(2,1,2);
+plot(t, r, 'b', t, r_d, '--r', 'LineWidth', 1.4);
+legend('r(t)', 'r_d(t)');
+ylabel('Roll angle [rad]'); xlabel('Time [s]'); grid on; title('Παρακολούθηση τροχιάς');
+
+if ~exist('output', 'dir')
+    mkdir('output');
+end
+saveas(gcf, 'output/Problem2a_estimation.png');

Lab02/scripts/Problem2b.m

@@ -0,0 +1,103 @@
+%
+% Problem 2b: Estimation of unknown parameters using Lyapunov (r, dr, u measurable)
+%
+
+% True system parameters
+a1 = 2.0;
+a2 = 1.0;
+a3 = 0.5;
+b = 2.0;
+
+% Simulation setup
+Ts = 0.001;
+T_total = 30;
+t = 0:Ts:T_total;
+N = length(t);
+
+% Reference trajectory
+r_d = zeros(1, N);
+r_d(t >= 10 & t < 20) = pi/10;
+
+% Smooth bound phi(t)
+phi0 = 1.5;
+phi_inf = 0.05;
+lambda = 0.5;
+phi = (phi0 - phi_inf) * exp(-lambda * t) + phi_inf;
+
+% Control parameters
+k1 = 1.0;
+k2 = 1.0;
+rho = 1.0;
+
+% Initial conditions
+r = zeros(1, N);
+dr = zeros(1, N);
+ddr = zeros(1, N);
+
+% Estimated trajectory reconstruction
+r_hat = zeros(1, N);
+dr_hat = zeros(1, N);
+dr_hat(1) = 0; r_hat(1) = 0;
+
+% Parameter estimation setup
+theta_hat = zeros(4, N);
+theta_hat(:,1) = [1; 1; 1; 1];
+gamma = 0.66;
+
+alpha = zeros(1, N);
+u = zeros(1, N);
+
+for k = 1:N-1
+    % Control law
+    z1 = (r(k) - r_d(k)) / phi(k);
+    z1 = max(min(z1, 0.999), -0.999);
+    alpha(k) = -k1 * log((1 + z1) / (1 - z1));
+
+    z2 = (dr(k) - alpha(k)) / rho;
+    z2 = max(min(z2, 0.999), -0.999);
+    u(k) = -k2 * log((1 + z2) / (1 - z2));
+
+    % System dynamics
+    phi_vec = [-dr(k); -sin(r(k)); dr(k)^2 * sin(2*r(k)); u(k)];
+    ddr(k) = a1 * phi_vec(1) + a2 * phi_vec(2) + a3 * phi_vec(3) + b * phi_vec(4);
+    dr(k+1) = dr(k) + Ts * ddr(k);
+    r(k+1) = r(k) + Ts * dr(k);
+
+    % Parameter estimation
+    y = ddr(k);
+    y_hat = theta_hat(:,k)' * phi_vec;
+    e = y - y_hat;
+    theta_hat(:,k+1) = theta_hat(:,k) + Ts * gamma * e * phi_vec;
+
+    % Reconstruct r_hat from estimated theta
+    phi_hat = [-dr_hat(k); -sin(r_hat(k)); dr_hat(k)^2 * sin(2 * r_hat(k)); u(k)];
+    dd_r_hat = theta_hat(:,k)' * phi_hat;
+    dr_hat(k+1) = dr_hat(k) + Ts * dd_r_hat;
+    r_hat(k+1) = r_hat(k) + Ts * dr_hat(k);
+end
+
+fprintf('\n2b: Final estimated parameters:\n');
+fprintf('a1: %.4f, a2: %.4f, a3: %.4f, b: %.4f\n', theta_hat(1,end), theta_hat(2,end), theta_hat(3,end), theta_hat(4,end));
+
+% Plot
+figure('Name', 'Problem 2b - Estimation with State Comparison', 'Position', [100, 100, 1280, 860]);
+sgtitle('Problem 2b - Parameter Estimation and State Reconstruction');
+
+subplot(3,1,1);
+plot(t, theta_hat', 'LineWidth', 1.4);
+legend('a_1', 'a_2', 'a_3', 'b');
+ylabel('\theta estimates'); grid on; title('Εκτιμήσεις παραμέτρων');
+
+subplot(3,1,2);
+plot(t, r, 'b', t, r_hat, '--r', 'LineWidth', 1.4);
+legend('r(t)', 'r_{hat}(t)');
+ylabel('Roll angle [rad]'); title('Πραγματικό vs εκτιμώμενο r(t)'); grid on;
+
+subplot(3,1,3);
+plot(t, r - r_hat, 'k', 'LineWidth', 1.4);
+ylabel('e_r(t)'); xlabel('Time [s]'); title('Σφάλμα θέσης: r(t) - r̂(t)'); grid on;
+
+if ~exist('output', 'dir')
+    mkdir('output');
+end
+saveas(gcf, 'output/Problem2b_estimation.png');