|
|
|
@@ -0,0 +1,153 @@ |
|
|
|
% |
|
|
|
% !TEX TS-program = xelatex |
|
|
|
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode |
|
|
|
% !TEX spellcheck = el-GR |
|
|
|
% |
|
|
|
% AUTH report template for english |
|
|
|
% |
|
|
|
% Requires compilation with pdfLaTeX or XeLaTeX |
|
|
|
% |
|
|
|
% authors: |
|
|
|
% Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997 |
|
|
|
% cchoutou@ece.auth.gr |
|
|
|
|
|
|
|
% Options: |
|
|
|
% |
|
|
|
% 1) mainlang=<language> |
|
|
|
% Default: english |
|
|
|
% Set the default language of the document which affects hyphenations, |
|
|
|
% localization (section, dates, etc...) |
|
|
|
% |
|
|
|
% example: \documentclass[mainlang=greek]{AUThReport} |
|
|
|
% |
|
|
|
% 2) <language> |
|
|
|
% Add hyphenation and typesetting support for other languages |
|
|
|
% Currently supports: english, greek, german, frenc |
|
|
|
% |
|
|
|
% example: \documentclass[english, greek]{AUThReport} |
|
|
|
% |
|
|
|
% 3) short: Requests a shorter title for the document |
|
|
|
% Default: no short |
|
|
|
% |
|
|
|
% example: \documentclass[short]{AUThReport} |
|
|
|
% |
|
|
|
\documentclass[a4paper, 11pt, mainlang=greek, english]{AUThReport/AUThReport} |
|
|
|
|
|
|
|
\CurrentDate{\today} |
|
|
|
|
|
|
|
% Greek report document setup suggestions |
|
|
|
%--------------------------------- |
|
|
|
% Document configuration |
|
|
|
\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης} |
|
|
|
\AuthorAEM{8997} |
|
|
|
\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr} |
|
|
|
|
|
|
|
%\CoAuthorName{CoAuthor Name} |
|
|
|
%\CoAuthorAEM{AEM} |
|
|
|
%\CoAuthorMail{CoAuthor Mail} |
|
|
|
|
|
|
|
% \WorkGroup{Ομάδα Χ} |
|
|
|
|
|
|
|
\DocTitle{Εργασία 1} |
|
|
|
\DocSubTitle{Εκτίμηση Άγνωστων Παραμέτρων - Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων} |
|
|
|
|
|
|
|
\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής} |
|
|
|
\ClassName{Προσομοίωση και Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων} |
|
|
|
|
|
|
|
\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης} |
|
|
|
\InstructorMail{rovithak@auth.gr} |
|
|
|
|
|
|
|
\CoInstructorName{Λ. Μπίκας} |
|
|
|
\CoInstructorMail{lnmpikas@ece.auth.gr} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% Local package requirements |
|
|
|
%--------------------------------- |
|
|
|
%\usepackage{tabularx} |
|
|
|
%\usepackage{array} |
|
|
|
%\usepackage{commath} |
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts} |
|
|
|
\usepackage{graphicx} |
|
|
|
\usepackage{float} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{document} |
|
|
|
|
|
|
|
% Request a title page or header |
|
|
|
\InsertTitle |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Εισαγωγή} |
|
|
|
Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείμενο τη μελέτη ενός απλοποιημένου δυναμικού συστήματος — συγκεκριμένα ενός γραμμικοποιημένου εκκρεμούς με ροπή εισόδου — με σκοπό την κατανόηση της συμπεριφοράς του και την εκτίμηση των φυσικών παραμέτρων του μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. |
|
|
|
Στο πρώτο μέρος της εργασίας εξετάζεται η δυναμική του συστήματος, η οποία περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης, και προσεγγίζεται τόσο θεωρητικά όσο και αριθμητικά μέσω προσομοίωσης στο περιβάλλον MATLAB. |
|
|
|
\par |
|
|
|
Αρχικά, το σύστημα αναδιατυπώνεται σε μορφή κατάστασης ώστε να καταστεί κατάλληλο για ανάλυση και προσομοίωση. |
|
|
|
Στη συνέχεια, εφαρμόζεται ημιτονική διέγερση και εξετάζεται η απόκριση του συστήματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος με τον οποίο το σύστημα φτάνει στη μόνιμη περιοδική του συμπεριφορά, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο αποκλίνουν οι ταλαντώσεις από τη μεταβατική φάση. |
|
|
|
Η ανάλυση αυτή θέτει τη βάση για τα επόμενα μέρη της εργασίας, όπου επιχειρείται η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου με τη χρήση δεδομένων εξόδου του συστήματος. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Παραδοτέα} |
|
|
|
Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από: |
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item Την παρούσα αναφορά. |
|
|
|
\item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB. |
|
|
|
\item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/SystemModling}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα. |
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Θέμα 1 – Μοντελοποίηση και Προσομοίωση Συστήματος Εκκρεμούς} |
|
|
|
|
|
|
|
Το σύστημα που μελετάται περιγράφεται από τη γραμμικοποιημένη διαφορική εξίσωση: |
|
|
|
\[ |
|
|
|
mL^2 \ddot{q}(t) + c \dot{q}(t) + mgL q(t) = u(t) |
|
|
|
\] |
|
|
|
όπου $q(t)$ είναι η γωνία του εκκρεμούς, $u(t)$ η ροπή εισόδου, και $m$, $L$, $c$, $g$ φυσικές σταθερές του συστήματος. |
|
|
|
|
|
|
|
Ορίζοντας ως διάνυσμα κατάστασης: |
|
|
|
\[ |
|
|
|
x(t) = \begin{bmatrix} q(t) \\ \dot{q}(t) \end{bmatrix} |
|
|
|
\] |
|
|
|
οι εξισώσεις κατάστασης γράφονται ως: |
|
|
|
\[ |
|
|
|
\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) |
|
|
|
\] |
|
|
|
όπου: |
|
|
|
\[ |
|
|
|
A = |
|
|
|
\begin{bmatrix} |
|
|
|
0 & 1 \\ |
|
|
|
-\frac{g}{L} & -\frac{c}{mL^2} |
|
|
|
\end{bmatrix}, |
|
|
|
\quad |
|
|
|
B = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{mL^2} \end{bmatrix} |
|
|
|
\] |
|
|
|
|
|
|
|
Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος προκύπτει από την αρχική εξίσωση ως: |
|
|
|
\[ |
|
|
|
G(s) = \frac{Q(s)}{U(s)} = \frac{1}{mL^2 s^2 + c s + mgL}. |
|
|
|
\] |
|
|
|
|
|
|
|
Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκε ημιτονική είσοδος $u(t) = A_0 \sin(\omega t)$, με $A_0 = 4$ και $\omega = 2$. |
|
|
|
Οι υπόλοιπες παράμετροι ήταν $m = 0.75$, $L = 1.25$, $c = 0.15$, $g = 9.81$. |
|
|
|
Ο αρχικός χρόνος προσομοίωσης ορίστηκε σε $20$ δευτερόλεπτα, όπως ζητείται στην εκφώνηση. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection*{Παρατήρηση Συμπεριφοράς Συστήματος} |
|
|
|
|
|
|
|
Το σύστημα παρουσίασε περιοδική απόκριση, η οποία όμως δεν σταθεροποιήθηκε γρήγορα. |
|
|
|
Όπως φαίνεται στο Σχήμα~\ref{fig:20s}, το πλάτος των ταλαντώσεων συνεχίζει να μεταβάλλεται ακόμη και μετά από 20 δευτερόλεπτα, γεγονός που δείχνει ότι το σύστημα βρίσκεται ακόμη σε μεταβατική κατάσταση. |
|
|
|
|
|
|
|
Η καθυστερημένη σύγκλιση οφείλεται κυρίως: |
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item στην πολύ μικρή τιμή του συντελεστή απόσβεσης ($c = 0.15$), και |
|
|
|
\item στο γεγονός ότι η συχνότητα της εισόδου ($\omega = 2$ rad/s) είναι κοντά στη φυσική συχνότητα του εκκρεμούς ($\omega_n = \sqrt{g/L} \approx 2.8$ rad/s), προκαλώντας φαινόμενο ενίσχυσης (quasi-resonance). |
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
Για τον λόγο αυτό, επεκτείναμε τη διάρκεια προσομοίωσης στα $90$ δευτερόλεπτα. |
|
|
|
Όπως φαίνεται στο Σχήμα~\ref{fig:90s}, το σύστημα σταθεροποιείται τελικά σε περιοδική μορφή περίπου μετά από $50$ δευτερόλεπτα. |
|
|
|
|
|
|
|
\InsertFigure{!ht}{1}{fig:20s}{../scripts/Prob1_responce_20s.png}{ |
|
|
|
Απόκριση του συστήματος για $t \in [0, 20]$ sec. Η μεταβατική φάση παραμένει ενεργή. |
|
|
|
} |
|
|
|
\InsertFigure{!ht}{1}{fig:90s}{../scripts/Prob1_responce_90s.png}{ |
|
|
|
Απόκριση του συστήματος για $t \in [0, 90]$ sec. Το σύστημα σταθεροποιείται σε περιοδική συμπεριφορά μετά τα $50$ sec. |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document} |
