HW2: A small proof section added

homework_2/report/homework_2_report.tex

@@ -140,7 +140,7 @@
     Η τάξη αυτή προσφέρει δυνατότητες χρονομέτρησης μίας ή και πολλαπλών κλήσεων αθροίζοντας τους χρόνους.
 \end{itemize}
 \par
-Όλοι οι παραπάνω τύποι είναι templates, και βρίσκονται στα αντίστοιχα headers (.hpp) αντί στα αρχεία .cpp.
+Όλοι οι παραπάνω τύποι είναι templates, και βρίσκονται στα αντίστοιχα headers (.hpp) αντί για αρχεία .cpp.
 Η συνάρτηση \textit{main()} που υλοποιεί τον αλγόριθμο, αλλά και αυτή που καλεί τα unit tests, μαζί με τον validator και το command line interface βρίσκονται στο αρχείο main.cpp.
 
 \subsection{Model version}
@@ -232,7 +232,7 @@
 Θα περίμενε λοιπόν κάποιος να υπάρχει ένας τρόπος να αποφευχθεί η μεταφορά δεδομένων που θα παραμείνουν.
 Πράγματι, όπως αποδεικνύεται και στο παράρτημα \ref{appendix:ExchangeOpt}, αν έχουμε δύο \textbf{ταξινομημένες} ακολουθίες που η μία θα κρατήσει τα μέγιστα $L_i$ και η άλλη θα κρατήσει τα ελάχιστα $S_i$, τότε τα δεδομένα που θα καταλήξουν να χρειάζονται ανταλλαγή \textbf{για την κάθε ακολουθία} βρίσκονται στο υποσύνολο επικάλυψης:
 \[
-E = \{l_i, l_{i+1}, ... , l_j\}, i \le j: \quad L_{min} \le l_x \le S_{max},\quad \forall l_x \in E
+    E = \{l_x\}_{x=i}^j: \quad L_{min} \le l_x \le S_{max}
 \]
 Δηλαδή στο κομμάτι της ακολουθίας με τα στοιχεία που είναι \textbf{\textit{μεγαλύτερα από το μικρότερο αυτής που κρατάει τα μεγάλα $L_{min}$ και μικρότερα από το μεγαλύτερο αυτής που κρατάει τα μικρά $S_{max}$}}.
 Αν το σύνολο επικάλυψης $E_1, E_2$ των ακολουθιών:
@@ -367,11 +367,40 @@ Exch. Optimi-zation } &  N1P2 - q=20 & \st{191 ms} &\st{72.5 ms}&\st{4.76 ms}&
     Ο αναγνώστης παρ' όλα αυτά μπορεί να βρει \href{\selfref}{εδώ} μια \textit{μελλοντική έκδοση} της αναφοράς η οποία όταν εκτελεστούν τα scripts θα συμπεριλαμβάνει τις μετρήσεις αυτές. \label{ft:measurements}
 }
 
+
+\newpage
 \appendix
 \section{Παράρτημα}
 \subsection{Υπολογισμός συνόλου ανταλλαγής ταξινομημένων ακολουθιών}
 \label{appendix:ExchangeOpt}
 
-Έστω ...
+Έστω $L, S$ δύο ταξινομημένες ακολουθίες μεγέθους $N$, μία αύξουσα και μία φθίνουσα.
-
+\[
+    L=\{l_i\}_{i=1}^N, S=\{s_i\}_{i=1}^N, \quad l_i, s_i \in \mathbf{R}
+\]
+Έστω $f$ συνάρτηση η οποία παίρνει δύο ταξινομημένες ακολουθίες \( L = \{l_i\}_{i=1}^N \) και \( S = \{s_i\}_{i=1}^N \), και επιστρέφει δύο ακολουθίες \( L' = \{l'_i\}_{i=1}^N \) και \( S' = \{s'_i\}_{i=1}^N \):
+\[
+    f \colon (\mathbf{R}^N, \mathbf{R}^N) \to (\mathbf{R}^N, \mathbf{R}^N), \qquad
+    f(L, S) = (L', S') = \left(\{\max(l_i, s_i)\}_{i=1}^N, \{\min(l_i, s_i)\}_{i=1}^N\right).
+\]
+Όπου, η \( L' \) περιέχει τα μεγαλύτερα στοιχεία από τη σύγκριση στοιχείο με στοιχείο \( l_i \) και \( s_i \), ενώ η \( S' \) περιέχει τα μικρότερα.
+Αν $l_{min}$ το μικρότερο στοιχείο της $L$ και $s_{max}$ το μεγαλύτερο στοιχείο της $S$, τότε:
+\[
+\begin{aligned}
+    \exists E_L=\{e_i\}_{i=1}^m \subseteq L: e_i > s_{max} \ge s_i \forall i \\
+    \exists E_S=\{s_i\}_{i=1}^m \subseteq S: s_i < l_{min} \le e_1 \forall i
+\end{aligned}
+\]
+Άρα:
+\[
+    f(E_L, S_L) = \left(\{\max(e_i, s_i)\}_{i=1}^m, \{\min(e_i, s_i)\}_{i=1}^m\right) = \left(\{e_i\}_{i=1}^m, \{s_i\}_{i=1}^m\right) = (E_L, E_S)
+\]
+Επομένως υπάρχουν τα υποσύνολα $E_L\subseteq L, E_S\subseteq S$, τα οποία δεν επηρεάζονται από τη συνάρτηση $f$, και άρα δεν ανταλλάσουν τα στοιχεία μεταξύ τους.
+Έτσι τα υποσύνολα τα οποία αλλάζουν στοιχεία είναι:
+\[
+\begin{aligned}
+    L_{ex} = L \setminus E_L = \{l_{min}, \dots, s_{max}\}, l_{min} \le s_{max}\\
+    S_{ex} = S \setminus E_S = \{l_{min}, \dots, s_{max}\}, l_{min} \le s_{max}
+\end{aligned}
+\]
 \end{document}