Project: Files upload version

Project/report/Project_report.tex

@@ -0,0 +1,313 @@
+% !TEX TS-program = xelatex
+% !TEX encoding   = UTF-8 Unicode
+% !TEX spellcheck = el-GR
+%
+% Optimization techniques project report
+%
+% Requires compilation with pdfLaTeX or XeLaTeX
+%
+% authors:
+%   Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997
+%   cchoutou@ece.auth.gr
+
+%
+% Options:
+%
+% 1) mainlang=<language>
+%    Default:  english
+%    Set the default language of the document which affects hyphenations,
+%    localization (section, dates, etc...)
+%
+%    example: \documentclass[mainlang=greek]{AUThReport}
+%
+% 2) <language>
+%    Add hyphenation and typesetting support for other languages
+%    Currently supports: english, greek, german, frenc
+%
+%    example: \documentclass[english, greek]{AUThReport}
+%
+% 3) short: Requests a shorter title for the document
+%    Default: no short
+%
+%    example: \documentclass[short]{AUThReport}
+%
+\documentclass[a4paper, 11pt, mainlang=greek, english]{AUThReport}
+
+\CurrentDate{\today}
+
+% Document setup
+%---------------------------------
+
+% \WorkGroup{Ομάδα Χ}
+
+\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης}
+\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr}
+\AuthorAEM{8997}
+
+%\CoAuthorName{Όνομα Επίθετο}
+%\CoAuthorAEM{AEM}
+%\CoAuthorMail{xxx@ece.auth.gr}
+
+\DocTitle{Project: Γενετικοί αλγόριθμοι}
+\DocSubTitle{Ελαχιστοποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών}
+
+\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής}
+\ClassName{Τεχνικές Βελτιστοποίησης}
+%
+\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης}
+\InstructorMail{rovithak@auth.gr}
+
+\CoInstructorName{Θ. Αφορόζη}
+\CoInstructorMail{taforozi@ece.auth.gr}
+
+
+% Local package requirements
+%---------------------------------
+
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{array}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{float}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{soul}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{footnote}
+\usepackage{footmisc}
+
+\usepackage[labelformat=empty]{subcaption}
+
+\begin{document}
+
+\InsertTitle
+%\tableofcontents
+
+\section{Εισαγωγή}
+
+Η παρούσα εργασία αφορά την ελαχιστοποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών, χρησιμοποιώντας \textbf{γενετικό αλγόριθμο}.
+Στην παρούσα εργασία προσπαθήσαμε να βελτιστοποιήσουμε το συνολικό χρόνο διέλευσης από ένα οδικό δίκτυο, το οποίο καλείται να εξυπηρετήσει ένα προκαθορισμένο όγκο οχημάτων ανά λεπτό, ενώ οι οδεύσεις του έχουν πεπερασμένη και προκαθορισμένη χωρητικότητα.
+Η προσέγγιση του προβλήματος έγινε βάση δοθέντος από την εκφώνηση μαθηματικού μοντέλου για το χρόνο διέλευσης της κάθε κυκλοφοριακής κατεύθυνσης, το οποίο χρησιμοποιήθηκε ως συνάρτηση αξιολόγησης για το γενετικό αλγόριθμο που τον ελαχιστοποιεί.
+
+\subsection{Παραδοτέα}
+Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
+\begin{itemize}
+    \item Την παρούσα αναφορά.
+    \item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB.
+    \item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/OptimizationTechniques/src/branch/master/Project}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
+\end{itemize}
+
+\section{Γενετικοί Αλγόριθμοι}
+
+Οι γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic Algorithms - GAs) είναι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης εμπνευσμένοι από τις αρχές της \textbf{φυσικής επιλογής} και της \textbf{γενετικής εξέλιξης}.
+Σε αντίθεση με μεθόδους που χρησιμοποιούν παραγώγους, όπως αυτή της μέγιστης καθόδους, του Newtown κλπ, οι γενετικοί αλγόριθμοι αποτελούν τεχνικές ολικής βελτιστοποίησης, δηλαδή της εύρεσης του ολικού ελάχιστου μια συνάρτησης.
+\par
+Oι γενετικοί αλγόριθμοι λειτουργούν με τη δημιουργία ενός πληθυσμού πιθανών λύσεων, όπου κάθε λύση αναπαριστάται ως ένα χρωμόσωμα (διάνυσμα παραμέτρων).
+Ο πληθυσμός εξελίσσεται μέσα από επαναλαμβανόμενες γενιές, εφαρμόζοντας τις εξής διαδικασίες:
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Υπολογισμός καταλληλότητας (fitness evaluation)}: Κάθε λύση αξιολογείται βάσει μιας συνάρτησης καταλληλότητας, η οποία ποσοτικοποιεί πόσο καλή είναι σε σχέση με το πρόβλημα.
+    \item \textbf{Επιλογή (selection)}: Επιλέγονται οι καλύτερες λύσεις από τον τρέχοντα πληθυσμό, οι οποίες έχουν υψηλότερη πιθανότητα να περάσουν στα επόμενα στάδια.
+    \item \textbf{Διασταύρωση (crossover)}: Δημιουργούνται νέες λύσεις μέσω συνδυασμού δύο γονικών λύσεων, αναμιγνύοντας τα χαρακτηριστικά τους.
+    \item \textbf{Μετάλλαξη (mutation)}: Σε ορισμένες λύσεις εφαρμόζονται μικρές, τυχαίες τροποποιήσεις ώστε να διατηρηθεί η ποικιλομορφία του πληθυσμού και να αποφευχθεί η παγίδευση σε τοπικά ελάχιστα.
+    \item \textbf{Αντικατάσταση (replacement)}: Ο νέος πληθυσμός που προκύπτει αντικαθιστά τον παλιό, συνεχίζοντας τη διαδικασία μέχρι να ικανοποιηθεί κάποιο κριτήριο σύγκλισης.
+\end{itemize}
+
+Η συνεχής επανάληψη αυτών των διαδικασιών επιτρέπει στον γενετικό αλγόριθμο να αναζητήσει και να προσεγγίσει την καλύτερη δυνατή λύση μέσα στον χώρο των πιθανών λύσεων.
+Στις επόμενες παραγράφους θα περιγράψουμε την υλοποίηση αυτών των διαδικασιών για την παρούσα εργασία.
+
+\section{Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος}
+
+Το πρόβλημα μοντελοποιείται ως εξής:
+
+\subsection*{Μεταβλητές Απόφασης}
+Ο ρυθμός διέλευσης οχημάτων $x$ σε κάθε δρόμο $i$ για τους $n$ δρόμους δίνεται ως:
+\[
+x = [x_1, x_2, \dots, x_n]
+\]
+
+\subsection*{Χρόνος κίνησης σε κάθε δρόμο}
+Ο χρόνος διάσχισης $T_i$ του δρόμου $i$ συναρτήσει του ρυθμού διέλευσης είναι:
+\begin{equation}
+    T_i(x_i) = t_i + \frac{a_i x_i}{1 - \frac{x_i}{c_i}}, \quad 0 \leq x_i < c_i, \quad i=1,2,\dots,n
+    \label{eq:Ti}
+\end{equation}
+\subsection*{Συνολικός χρόνος κίνησης}
+Ο συνολικός χρόνος $T_total$ του οδικού δικτύου είναι:
+\begin{equation}
+     T_{total} = \sum_{i=1}^{n} T_i(x_i)
+    \label{eq:Ttotal}
+\end{equation}
+\subsection*{Στόχος}
+Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου διάσχισης:
+\begin{equation}
+    \min_{x} T_{total} = \min_{x} \sum_{i=1}^{n} T_i(x_i) = \min_{x} \sum_{i=1}^{n} \left( t_i + \frac{a_i x_i}{1 - \frac{x_i}{c_i}} \right)
+    \label{eq:problem}
+\end{equation}
+\par
+Εδώ θα πρέπει να τονίσουμε πως κάναμε την υπόθεση ότι ο χρόνος \boldmath $T_i$ αφορά \textbf{όλα τα οχήματα} που κινούνται το δεδομένο στιγμιότυπο στο δρόμο $i$\unboldmath.
+Η εκφώνηση της άσκησης δεν ξεκαθαρίζει αν ο χρόνος $T_i$ αφορά το κάθε μεμονωμένο όχημα ή όλα.
+Σε περίπτωση πάντως που αφορά το κάθε όχημα ξεχωριστά τότε το άθροισμα θα έπρεπε να τροποποιηθεί σε: $ \sum_{i=1}^{n} T_i(x_i)\cdot x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( t_i + \frac{a_i x_i}{1 - \frac{x_i}{c_i}}\right)\cdot x_i $, το οποίο όμως δεν αλλάζει τη συμπεριφορά και τα ευρήματα της εργασίας.
+
+\subsection*{Περιορισμοί}
+1. Ισορροπία εισερχομένων και εξερχομένων ροών σε κάθε κόμβο $j$:
+\[
+\sum_{i \in incoming(j)} x_i = \sum_{k \in outgoing(j)} x_k, \quad \forall j
+\]
+
+2. Περιορισμός ροής:
+\[
+0 \leq x_i \leq c_i, \quad \forall i
+\]
+
+3. Ο συνολικός ρυθμός εισόδου στο δίκτυο:
+\[
+\sum_{i=1}^{n} x_i = V
+\]
+
+\section{Υλοποίηση}
+
+Πριν περάσουμε στην παρουσίαση των αποτελεσμάτων, καλό θα ήταν να περιγράψουμε τις εξελικτικές διαδικασίες που χρησιμοποιήσαμε.
+Πιο συγκεκριμένα στην παρούσα εργασία υλοποιήσαμε ένα βρόχο με σταθερό αριθμό γενεών.
+Σε κάθε γενιά του βρόχου:
+\begin{itemize}
+    \item Εκτελούμε τη \textbf{συνάρτηση καταλληλότητας} η οποία απλώς χρησιμοποιεί τη μαθηματική μοντελοποίηση που περιγράψαμε στις εξισώσεις \ref{eq:Ti}, \ref{eq:Ttotal} για να αξιολογήσει τη συνολική απόδοση του πληθυσμού.
+    Με αυτό τον τρόπο έχουμε τον χρόνο σε κάθε δρόμο αλλά και τον συνολικό χρόνο για κάθε ένα χρωμόσωμα ξεχωριστά.
+    \item Έπειτα εκτελούμε \textbf{διασταύρωση}.
+    Για το σκοπό αυτό ταξινομούμε τον πληθυσμό με βάση τη συνολική ικανότητα και διαλέγουμε τις μισές καλύτερες λύσεις (χρωμοσώματα).
+    Αυτά τα χρησιμοποιούμε ως γονείς.
+    Με τυχαίο τρόπο επιλέγουμε δύο -- δύο κάθε φορά και από αυτό το ζευγάρι δημιουργούμε δύο παιδιά.
+    Το κάθε παιδί δημιουργείται με τη μέθοδο της \textbf{διακριτής διασταύρωσης}.
+    Εδώ να πούμε πως το πόσο μεγάλο κομμάτι από τον κάθε γονέα θα περάσει στο κάθε παιδί το επιλέγουμε με τυχαίο τρόπο.
+    \item Έπειτα ολοκληρώνουμε τη διαδικασία αντικατάσταση, χρησιμοποιώντας τη \textbf{στρατηγική '+'}.
+    Δηλαδή κρατάμε τους γονείς και συμπληρώνουμε το 2ο μισό του πληθυσμού με τα παιδιά.
+    \item Τέλος εκτελούμε τη διαδικασία της μετάλλαξης.
+    Σε αυτή τη διαδικασία συμμετέχουν όλα τα χρωμοσώματα και είναι τυχαίο φαινόμενο.
+    Με βάση μιας προκαθορισμένης πιθανότητας επιλέγουμε χρωμοσώματα από όλο τον πληθυσμό και τους αλλάζουμε την τιμή μιας τυχαίας παραμέτρου (χρόνος διέλευσης από ένα δρόμο).
+    Η νέα τιμή επιλέγεται πάλι τυχαία.
+\end{itemize}
+
+\section{Εκτέλεση - Συμπεριφορά}
+
+Για την εκτέλεση του αλγόριθμου κινηθήκαμε σε δύο κατευθύνσεις.
+Από τη μία κρατήσαμε σταθερό τον πληθυσμό και παρατηρήσαμε τη σύγκλιση του αλγόριθμου για διαφορετικές πιθανότητες μεταλλάξεων και από την άλλη κρατήσαμε την πιθανότητα σταθερή και δοκιμάσαμε διαφορετικό αριθμό χρωμοσωμάτων.
+
+\subsection{Σταθερός αριθμός χρωμοσωμάτων}
+
+Παρακάτω στο σχήμα \ref{fig:constV_pop_50} φαίνεται η πορεία σύγκλισης για την πρώτη περίπτωση.
+Εδώ κρατήσαμε τον πληθυσμό στο 50 και δοκιμάσαμε πιθανότητες $0.2\%, 0.5\%, 1\%$ και $2\%$.
+\textbf{Επιλέξαμε αρκετά μικρές τιμές για πιθανότητες ώστε να φανεί καλύτερα η συμπεριφορά του αλγόριθμου}.
+Παρατηρούμε πως για μικρή πιθανότητα ο αλγόριθμος χρειάζεται πολλές γενεές για να συγκλίνει.
+Επίσης, δείχνει να κολλάει σε κάποια υπο-βέλτιστη λύση για αρκετές γενεές.
+Και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά βέβαια ελαττώνονται με την αύξηση της πιθανότητας.
+
+\par
+Να σημειώσουμε εδώ ότι η αύξηση της πιθανότητας μετάλλαξης \textbf{αυξάνει ελάχιστα} τη υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγόριθμου.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    % First row
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.002.png}
+        \caption{Πιθανότητα: $0.2\%$}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.005.png}
+        \caption{Πιθανότητα: $0.5\%$}
+    \end{subfigure}
+
+    % Second row
+    \vspace{1em}
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering¨
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.01.png}
+        \caption{Πιθανότητα: $1\%$}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.02.png}
+        \caption{Πιθανότητα: $2\%$}
+    \end{subfigure}
+
+    \caption{Σύγκριση της μεθόδου για σταθερό πληθυσμό $50$.}
+    \label{fig:constV_pop_50}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Σταθερή πιθανότητα μετάλλαξης}
+
+Παρακάτω στο σχήμα \ref{fig:constV_mut_0.01} φαίνεται η πορεία σύγκλισης για την πρώτη περίπτωση.
+Εδώ κρατήσαμε την πιθανότητα στο $1\%$ και δοκιμάσαμε πληθυσμούς των $26, 50, 76$ και $100$ χρωμοσωμάτων.
+\textbf{Επιλέξαμε πάλι αρκετά μικρές τιμές για τον πληθυσμό ώστε να φανεί καλύτερα η συμπεριφορά του αλγόριθμου}.
+Ομοίως παρατηρούμε πως μικροί πληθυσμοί χρειάζονται πολλές γενεές για να συγκλίνουν και οι μεταλλάξεις παρουσιάζουν απότομες μεταβολές.
+Μεγαλύτεροι πληθυσμοί όμως φαίνεται ότι βοηθούν αρκετά στην συνολική πιθανότητα μετάλλαξης προς τη βέλτιστη λύση.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    % First row
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_26mut_0.01.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $26$}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.01.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $50$}
+    \end{subfigure}
+
+    % Second row
+    \vspace{1em}
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_76mut_0.01.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $76$}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_100mut_0.01.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $100$}
+    \end{subfigure}
+
+    \caption{Σύγκριση της μεθόδου για σταθερή πιθανότητα μετάλλαξης $1\%$.}
+    \label{fig:constV_mut_0.01}
+\end{figure}
+
+\par
+Να σημειώσουμε εδώ ότι η αύξηση του πληθυσμού \textbf{αυξάνει σημαντικά} τη υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγόριθμου.
+Για αυτό το λόγο, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα \ref{fig:constV_high_mut}, είναι προτιμότερο να επιλέξουμε \textbf{μεγάλη πιθανότητα μετάλλαξης με σχετικά μικρό πληθυσμό}.
+Όπου βλέπουμε πως ο αλγόριθμος συμπεριφέρεται αρκετά καλά ακόμα και με μικρό πληθυσμό.
+Αυτό θα μας δώσει γρήγορη σύγκλιση με σημαντικά μικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    % First row
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_50mut_0.05.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $50$, Πιθανότητα: $5\%$}
+    \end{subfigure}
+    \hfill
+    \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/constV_pop_36mut_0.1.png}
+        \caption{Πληθυσμός: $36$, Πιθανότητα: $10\%$}
+    \end{subfigure}
+
+    \caption{Σύγκριση της μεθόδου για υψηλή πιθανότητα μετάλλαξης.}
+    \label{fig:constV_high_mut}
+\end{figure}
+
+\section{Συμπεράσματα}
+
+Συνοψίζοντας, η χρήση του \textbf{γενετικού αλγορίθμου} για τη βελτιστοποίηση του χρόνου διέλευσης ενός οδικού δικτύου επέδειξε την ικανότητα των εξελικτικών τεχνικών να διαχειρίζονται σύνθετα προβλήματα χωρίς να απαιτούνται παράγωγοι ή άλλες αναλυτικές μέθοδοι.
+Από την ανάλυση των αποτελεσμάτων, παρατηρήσαμε πως η \textbf{πιθανότητα μετάλλαξης} και το \textbf{μέγεθος του πληθυσμού} επηρεάζουν άμεσα τη σύγκλιση και την απόδοση του αλγορίθμου.
+Μικρές πιθανότητες μετάλλαξης οδηγούν σε πιο αργή σύγκλιση, ενώ αυξημένος πληθυσμός παρέχει καλύτερη εξερεύνηση του χώρου λύσεων αλλά με μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος.
+Τα αποτελέσματα δείχνουν πως μια \textbf{ισορροπημένη επιλογή παραμέτρων} επιτρέπει τη βέλτιστη κατανομή της κυκλοφορίας, μειώνοντας σημαντικά τον συνολικό χρόνο διάσχισης.
+Επομένως, οι γενετικοί αλγόριθμοι αποτελούν μια αποτελεσματική επιλογή για παρόμοια προβλήματα βελτιστοποίησης, ειδικά όταν η διατύπωση του προβλήματος δεν επιτρέπει κλασικές μαθηματικές μεθόδους.
+
+\end{document}

Project/scripts/minimizeConstV.m

@@ -0,0 +1,98 @@
+% Genetic Algorithm for Minimizing Network Traversal Time
+
+clc;
+clear;
+close all;
+
+% Problem Parameters
+N = 17;                                                % Number of roads
+t = 1.5 * ones(1, N);                                  % Fixed time for each road
+a = [1.25 * ones(1, 5), 1.5 * ones(1, 5), ones(1, 7)]; % Weighting factor
+c = [
+    54.13, 21.56, 34.08, 49.19, 33.03, 21.84, 29.96, 24.87, 47.24, 33.97, ...
+    26.89, 32.76, 39.98, 37.12, 53.83, 61.65, 59.73];  % Road capacities
+V = 100;                                               % Incoming vehicle rate
+
+% Travel Time Function
+travelTime = @(xi, ti, ai, ci) ti + ai * xi / (1 - xi / ci);
+% Normalization Function (Infinite norm normalized to S)
+normalizeSum  = @(x, S) (x ./ sum(x)) * S;     % Ensure sum of single row x equals S
+normalizeSum2 = @(x, S) (x ./ sum(x, 2)) * S;  % Ensure sum of each row of 2D matrix x equals S
+
+% Genetic Algorithm Parameters
+popSize = 36;       % Population size
+maxGen = 2000;       % Maximum number of generations
+mutationRate = 0.1; % Mutation probability
+
+% Initialize Population
+pop = rand(popSize, N) .* c;    % Random initial solutions (0 <= x <= c)
+pop = normalizeSum2(pop, V);    % Ensure sum of each solution equals V
+
+newPop = zeros(popSize, N);     % Pre-allocate new population buffer
+bestFitness = zeros(maxGen, 1); % Result array
+
+% Genetic Algorithm Execution
+for gen = 1:maxGen
+    % Fitness Calculation
+    fitness = arrayfun(@(i) fitnessFunction(pop(i, :), t, a, c, V, travelTime), 1:popSize);
+
+    % Selection
+    [~, idx] = sort(fitness); % Sort based on fitness (ascending order)
+    pop = pop(idx, :);        % Retain the best solutions
+    
+    % Keep the best chromosome
+    bestFitness(gen) = fitnessFunction(pop(1, :), t, a, c, V, travelTime);
+
+    % Crossover
+    newPop(1:popSize/2, :) = pop(1:popSize/2, :); % Retain top half
+    for i = 1:popSize/2
+        parent1 = newPop(randi(popSize/2), :);
+        parent2 = newPop(randi(popSize/2), :);
+        crossPoint = randi(N);
+        child = [parent1(1:crossPoint), parent2(crossPoint+1:end)];
+        child = normalizeSum(child, V);
+        newPop(popSize/2 + i, :) = child;
+    end
+    
+    % Mutation
+    for i = 1:popSize
+        if rand < mutationRate
+            mutationIdx = randi(N);
+            newPop(i, mutationIdx) = rand * c(mutationIdx);
+            newPop(i, :) = normalizeSum(newPop(i, :), V);
+        end
+    end
+    
+    % Replacement
+    pop = newPop;
+end
+
+% Results
+bestSolution = pop(1, :);
+disp('Best Solution [veh/min]:');
+disp(bestSolution);
+disp(['Best Objective Value: ', num2str(bestFitness(end)), ' [min]']);
+
+figure('Name', 'Time over generations', 'NumberTitle', 'off');
+set(gcf, 'Position', [100, 100, 960, 640]); % Set the figure size
+plot(1:maxGen, bestFitness, '-b', 'LineWidth', 1);
+
+% Customize the plot
+title(['Population = ', num2str(popSize), '   -   Mutation = ', num2str(mutationRate)], 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
+xlabel('Generations') ;
+ylabel('T_{total}');
+
+% save the figure
+print(gcf, ['figures/constV_pop_', num2str(popSize), 'mut_', num2str(mutationRate), '.png'], '-dpng', '-r300');
+
+
+% Fitness Function
+function T_total = fitnessFunction(x, t, a, c, V, travelTime)
+    if abs(sum(x) - V) > 1e-6 || any(x < 0) || any(x > c)
+        T_total = inf; % Infeasible solutions
+        return;
+    end
+    
+    T = arrayfun(@(xi, ti, ai, ci) travelTime(xi, ti, ai, ci), x, t, a, c); % Apply function to all elements
+    T_total = sum(T .* x); % Total traversal time
+end

Work 3/report/Work3_report.tex

@@ -75,7 +75,7 @@
 Πιο συγκεκριμένα.
 
 \subsection{Μέθοδοι επιλογής βήματος}
-Εφόσον στην προηγούμενη εργασία οι μέθοδοι επιλογής βήματος ήταν ανεξάρτητες από την μέθοδο υπολογισμού του ελάχιστου και εφόσον χρησιμοποιούμε τον ίδιο κώδικά και στην παρούσα εργασία, αυτός ο τρόπος σχεδίασης παρέμεινε.
+Εφόσον οι υπάρχουσες μέθοδοι επιλογής βήματος είναι ανεξάρτητες από την μέθοδο υπολογισμού του ελάχιστου και εφόσον χρησιμοποιούμε τον ίδιο κώδικά και στην παρούσα εργασία, αυτός ο τρόπος σχεδίασης παρέμεινε.
 Ουσιαστικά για κάθε ένα τρόπο υπολογισμού του $\gamma_k$, υπάρχει αντίστοιχη συνάρτηση, με κοινό interface.
 Αυτό έχει τη μορφή: \textit{\textbf{gamma\_<method>(f, grad\_f, dk, xk)}}, όπου το \textbf{f} είναι η αντικειμενική συνάρτηση, \textbf{grad\_f} η συνάρτηση κλίσης της, \textbf{dk} η τιμή της συνάρτησης κλίσης στο xk και \textbf{xk} το σημείο ενδιαφέροντος.
 Έτσι οι μέθοδοι αντιγράφηκαν και εδώ για ολότητα, ακόμα και αν για την παρούσα εργασία χρησιμοποιείται μόνο το σταθερό βήμα $\gamma_k$.
@@ -98,16 +98,19 @@
 Η συνάρτηση με την οποία ασχολούμαστε στην παρούσα εργασία είναι η:
 \boldmath
 \begin{equation}
-    f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{3}{x_1}^2 + 3{x_2}^2, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
+    f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{3}{x_1}^2 + 3{x_2}^2, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T
 \end{equation}
 \label{eq:ObjectiveFunction}
-Όπου $ -10 \leq x_1 \leq 5 $ και $ -8 \leq x_2 \leq 12 $ \\
+Με \textbf{σύνολο περιορισμών} $X$:
+\[
+	\forall x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T \in X \subset \mathbb{R}^2: \quad -10 \leq x_1 \leq 5, \quad -8 \leq x_2 \leq 12
+\]
 \unboldmath
-Στο παρακάτω σχήμα \ref{fig:plot3dFunction} φαίνεται η τρισδιάστατη απεικόνιση της συνάρτησης.
+Στο σχήμα \ref{fig:plot3dFunction} φαίνεται η τρισδιάστατη απεικόνιση της συνάρτησης.
 \InsertFigure{!h}{0.8}{fig:plot3dFunction}{../scripts/figures/Plot_Function.png}{Γραφική παράσταση της f}
 
 Από το σχήμα μπορούμε πολύ εύκολα να διακρίνουμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο σύνολο των περιορισμών της εκφώνησης $ -10 \leq x_1 \leq 5 $ και $ -8 \leq x_2 \leq 12 $.
-Για να πάρουμε μια καλύτερη αίσθηση για το που βρίσκεται το τοπικό ελάχιστο της $f$, παρακάτω παραθέτουμε ένα γράφημα με τις ισοβαρείς καμπύλες της $f$.
+Για να πάρουμε μια καλύτερη αίσθηση για τις κλίσεις της $f$, παρακάτω παραθέτουμε ένα γράφημα με τις ισοβαρείς καμπύλες της $f$.
 \InsertFigure{H}{0.8}{fig:plotContour}{../scripts/figures/Plot_Contour.png}{Ισοβαρείς της f}
 
 Από το παραπάνω σχήμα \ref{fig:plotContour} φαίνονται και γραφικά οι μικρές κλίσης που παρουσιάζει η συνάρτηση κοντά στο ελάχιστο σημείο $(0,0)$.
@@ -116,7 +119,7 @@
 \section{Θέμα 1 - Μέθοδος Μέγιστης Καθόδου χωρίς περιορισμούς}
 Εφαρμόζοντας την μέθοδο μέγιστης καθόδου από την προηγούμενη εργασία, με ακρίβεια $\epsilon = 0.001$, για τα βήματα $\gamma_k$ της εκφώνησης, παρατηρούμε ότι η μέθοδος συγκλίνει στο ελάχιστο για μικρά $\gamma_k$ ενώ \textbf{αποκλίνει για μεγάλα} \boldmath$\gamma_k > 0.33$\unboldmath.
 Από τις δοκιμές φαίνεται ότι το σημείο εκκίνησης δεν παίζει ρόλο και για αυτό επιλέξαμε να παραθέσουμε τα ευρήματά μας από το σημείο $(5,-5)$, για αντιπαραβολή με το επόμενο βήμα της εκφώνησης.
-\InsertFigure{H}{0.6}{fig:StDes_Iter_o_gamma_2}{../scripts/figures/StDes_Iter_o_gamma_1.png}{Αριθμός επαναλήψεων για διαφορετικές τιμές $\gamma_k$ [Μέγιστη Κάθοδος].}
+\InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDes_Iter_o_gamma_2}{../scripts/figures/StDes_Iter_o_gamma_1.png}{Αριθμός επαναλήψεων για διαφορετικές τιμές $\gamma_k$ [Μέγιστη Κάθοδος].}
 Επίσης παρατηρούμε ότι για μικρό \boldmath$\gamma_k = 0.1$ η σύγκλιση είναι ομαλή, ενώ για μεγάλο $\gamma_k = 0.3$ \unboldmath παρουσιάζει ταλάντωση κατά την σύγκλιση.
 Παρακάτω στο σχήμα \ref{fig:StDes_gamma} παραθέτουμε την πορεία σύγκλισης και απόκλισης για τις διαφορετικές τιμές του $\gamma_k$.
 
@@ -159,20 +162,26 @@
 
 \subsection{Μαθηματική ανάλυση}
 Τα παραπάνω αποτελέσματα επιβεβαιώνονται και θεωρητικά.
-Πιο συγκεκριμένα για τη σύγκλιση της μεθόδου μέγιστης καθόδου όπου το κάθε σημείο υπολογίζεται από την σχέση \boldmath$x_{k+1} = x_k - \gamma_k \nabla f(x_k)$, \unboldmath πρέπει να ισχύουν:
+Πιο συγκεκριμένα για τη σύγκλιση της μεθόδου μέγιστης καθόδου όπου το κάθε σημείο υπολογίζεται από την σχέση:
+\boldmath \[
+	x_{k+1} = x_k - \gamma_k \nabla f(x_k)
+\]\unboldmath
+Πρέπει να ισχύουν:
 \begin{enumerate}
     \item H $f$ να είναι κυρτή.
     \item Η $f$ να είναι συνεχής και διαφορίσιμη και η κλίση της υπολογίσιμη.
     \item Για το βήμα υπολογισμού να ισχύει η σχέση:
+    \boldmath
     \begin{equation} 0 < \gamma_k < \frac{2}{L} \label{eq:gammaLimmit} \end{equation}
     Όπου $L$ το άνω φράγμα της Lipschitz για την κλίση $\nabla f(x)$ (αν είναι γνωστή), η οποία είναι η μέγιστη ιδιοτιμή του Εσσιανού και δίνεται από τη σχέση:
     \begin{equation}
         L = \max_{x} \{\lambda_{max} (H(x))\}
         \label{eq:Lipschitz}
     \end{equation}
+	\unboldmath
 \end{enumerate}
 \par
-Έτσι για τη δική μας περίπτωση η κλίση της $f(x)$ είναι:
+Έτσι για τη δική μας περίπτωση, όπου η $f$ είναι κυρτή και διαφορίσιμη, η κλίση της $f(x)$ είναι:
 \[
 \nabla f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x1} \\ \frac{\partial f}{\partial x2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3}x_1 \\ 6x_2 \end{bmatrix}
 \]
@@ -202,15 +211,16 @@ H(x) =
     \label{eq:gammaConvergence}
 \end{equation}
 \unboldmath
-Βλέπουμε ότι από την ανάλυσή μας, η τιμή που βρήκαμε εμπειρικά για την απόκλιση από την εκτέλεση του αλγορίθμου για το $\gamma > 0.33$ επιβεβαιώνεται.
+Βλέπουμε ότι από την ανάλυσή μας, η τιμή που βρήκαμε εμπειρικά για την απόκλιση, από την εκτέλεση του αλγορίθμου για το $\gamma > 0.33$ επιβεβαιώνεται.
 \par
 Επίσης το γεγονός ότι ο Εσσιανός είναι διαγώνιος, μας δίνει επίσης πληροφορία ότι:
 \boldmath
 \begin{itemize}
-    \item Η ιδιοτιμή $\lambda_1 = \frac{2}{3}$ εφαρμοσμένη στη σχέση (\ref{eq:gammaLimmit}) μας δίνει: \begin{equation} 0<\gamma_k<3 \label{eq:gammaLimmit_x1} \end{equation}
+    \item Η ιδιοτιμή $\lambda_1 = \frac{2}{3}$ εφαρμοσμένη στη σχέση (\ref{eq:gammaLimmit}) μας δίνει:
+    \begin{equation} 0<\gamma_{k,x_1}<3 \label{eq:gammaLimmit_x1} \end{equation}
     που είναι η τιμή για την οποία η μέθοδος συγκλίνει στη διάσταση $x_1$
     \item Η ιδιοτιμή $\lambda_2 = 6$ εφαρμοσμένη στη σχέση (\ref{eq:gammaLimmit}) μας δίνει:
-    \begin{equation} 0<\gamma_k<\frac{1}{3}\label{eq:gammaLimmit_x2} \end{equation}
+    \begin{equation} 0<\gamma_{k,x_2}<\frac{1}{3}\label{eq:gammaLimmit_x2} \end{equation}
     που είναι η τιμή για την οποία η μέθοδος συγκλίνει στη διάσταση $x_2$
 \end{itemize}
 \unboldmath
@@ -249,7 +259,7 @@ H(x) =
 \section{Μέθοδος Μέγιστης Καθόδου με προβολή}
 Πριν περάσουμε στις υπόλοιπες απαιτήσεις της εργασίας θα θέλαμε να παραθέσουμε κάποιες πληροφορίες για την υλοποίηση της μεθόδου μέγιστης καθόδου με προβολή (αρχείο: \textbf{method\_SteepDesc\_Proj.m}).
 Η συνάρτηση αυτή δέχεται ως είσοδο την αντικειμενική συνάρτηση και την συνάρτηση κλίσης καθώς και το σημείο εκκίνησης $x_k$ και το βήμα $s_k$.
-Με τη βοήθεια της συνάρτησης \textit{ProjectionPoint()} \textbf{παίρνει πρώτα την προβολή} του $x_k$ στο διάστημα των περιορισμών αν αυτό χρειάζεται \textbf{και έπειτα εφαρμόζει τον αλγόριθμο}.
+Με τη βοήθεια της συνάρτησης \textit{ProjectionPoint()} \textbf{παίρνει πρώτα την προβολή} του $x_k$ στο διάστημα των περιορισμών, αν αυτό χρειάζεται, \textbf{και έπειτα εφαρμόζει τον αλγόριθμο}.
 Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για σημεία εκκίνησης εκτός του συνόλου των περιορισμών.
 Ο αλγόριθμος είναι παρόμοιος με αυτόν της προηγούμενης εργασίας με τη διαφορά ότι η διεύθυνση $d_k$ επιλέγεται από τη σχέση:
 \[
@@ -261,7 +271,8 @@ H(x) =
 \]
 Δηλαδή εφαρμόζουμε πρώτα τη μέθοδο μέγιστης καθόδου με βήμα $s_k$ στην κατεύθυνση $-\nabla f$ και έπειτα προβάλουμε το σημείο στο σύνολο $X$ και χρησιμοποιούμε αυτό ως διεύθυνση με βήμα $\gamma_k$.
 \par
-Αξίζει να παρατηρήσουμε πως \textbf{αν το σημείο $x_k$ είναι εντός του συνόλου περιορισμών} τότε η προβολή του σημείου στο σύνολο, είναι το ίδιο το σημείο και έτσι:
+Αξίζει να παρατηρήσουμε πως \textbf{αν το σημείο $x_k$ είναι εντός του συνόλου περιορισμών} τότε $\bar{x_k} = x_k$, δηλαδή η προβολή του σημείου στο σύνολο, είναι το ίδιο το σημείο.
+Έτσι:
 \[
 \begin{aligned}
     x_{k+1} & = x_k + \gamma_k \left( Pr_X\{ x_k - s_k \nabla f(x_k)\} - x_k \right) \\
@@ -286,12 +297,15 @@ H(x) =
 
 Και εδώ παρατηρούμε πως ενώ το $\gamma_k$ έχει επιλεγεί θεωρητικά στο εύρος που οδηγεί σε σύγκλιση, το αντίστοιχο βήμα $s_k$ είναι πολύ μεγάλο, με αποτέλεσμα το γινόμενό τους $\gamma_k' = 15 * 0.1 = 1.5$ συνολικά να μην πληροί το κριτήριο $\gamma_k' < \frac{1}{3}$ και η μέθοδος να ταλαντώνει και πάλι.
 Αυτή τη φορά μόνο στον άξονα $x_2$.
-Αυτό βέβαια εξηγείται από την παραπάνω ανάλυσή καθώς βλέπουμε πως ενώ το γινόμενο 1.5 δεν πληροί τις προϋποθέσεις για σύγκλιση, πληροί όμως τις προϋποθέσεις της εξίσωσης (\ref{eq:gammaLimmit_x1}) με αποτέλεσμα να ταλαντώνει μόνο στον άξονα $x_2$
+Αυτό βέβαια εξηγείται από την παραπάνω ανάλυσή καθώς βλέπουμε πως ενώ το γινόμενο 1.5 δεν πληροί τις προϋποθέσεις για σύγκλιση, πληροί όμως τις προϋποθέσεις της εξίσωσης (\ref{eq:gammaLimmit_x1}) με αποτέλεσμα να ταλαντώνει μόνο στον άξονα $x_2$.
+\par
 Αυτό φυσικά είναι αληθές και για την προηγούμενη περίπτωση όπου το $\gamma_k' = 5 * 0.5 = 2.5$ και όπου πάλι η σύγκλιση ήταν μερική, μόνο για την διάσταση $x_1$.
 
-\section{Θέμα 4 - Σημείο (8, -10), $s_k = 0.1, \gamma_k = 0.2$ - Θέμα 4}
+\section{Θέμα 4 - Σημείο (8, -10), $s_k = 0.1, \gamma_k = 0.2$}
 Αρχικά παρατηρούμε πως το σημείο \textbf{δεν είναι εφικτό}, καθώς είναι εκτός του συνόλου των περιορισμών της εκφώνησης.
 Αυτό βέβαια δεν μας αποτρέπει από την εφαρμογή της μεθόδου, καθώς αρχικά μπορούμε να προβάλουμε το σημείο στο σύνολο και να εφαρμόσουμε τη μέθοδο έπειτα.
+H προβολή του (8, -10) είναι $Pr_X\{(8, -10)\} = (5, -8)$, που είναι και το σημείο εκκίνησης του αλγορίθμου όπως φαίνεται και στο σχήμα \ref{fig:StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2} παρακάτω.
+\par
 Ακόμα, αυτή τη φορά οι τιμές των βημάτων $s_k, \gamma_k$, έχουν επιλεγεί μέσα στο εύρος για το οποίο έχουμε σύγκλιση, καθώς: $\gamma_k' = 0.1 * 0.2 = 0.02 < \frac{1}{3}$, επομένως αναμένουμε η μέθοδος να συγκλίνει στο ελάχιστο.
 Εφαρμόζοντας τη μέθοδο για ακρίβεια $\epsilon = 0.01$ έχουμε:
 \InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2}{../scripts/figures/StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2.png}{Μέθοδος μέγιστης καθόδου με προβολή για $s_k = 0.1, \gamma_k = 0.2$.}